Question

Uma bola de massa m = 2,60kg começa do repouso e cai a uma distância vertical h=55,0cm antes de atingir uma mola vertical que é comprimida por uma distância Y = 15,0cm. Determine a constante da mola. Suponha que a mola tenha massa desprezível e ignore a resistência do ar.

Answer 1

Vamos considerar o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto de máxima compressão da mola.

O zero da energia potencial elástica é quando a mola está relaxada.

Pela lei da conservação da energia, a energia mecânica total do sistema é constante.

Isso quer dizer que a energia mecânica da bola antes da queda é a mesma que a energia mecânica após a compressão da mola.

Temos:

$\displaystyle{E = T + U_g + U_k =\text{const.}}$

$\displaystyle{T = \frac{1}{2}mv^2}$ energia cinética;

$\displaystyle{U_g = mgy}$ energia potencial gravitacional;

$\displaystyle{U_k = \frac{1}{2}ky^2}$ energia potencial elástica.

Note que $y$ (minúsculo) se refere à distância em relação ao ponto de energia zero.

Qual a energia mecânica antes da queda? Temos energia potencial gravitacional pois a bola está acima do nível zero numa altura $h + Y$.

Não temos energia cinética, pois ela parte do repouso e não temos energia potencial elástica, pois a mola não está comprimida.

Logo:

$\displaystyle{E_{antes} = 0 + mg(h+Y) + 0 }$

Qual a energia mecânica depois de comprimir a mola?

Não temos energia cinética, pois a bola está em repouso nessa situação.

Não temos energia potencial gravitacional, pois definimos o zero como sendo o ponto de maior compressão.

Nós temos energia potencial elástica, pois a mola foi comprimida por uma distância $Y$ do equilíbrio.

Logo:

$\displaystyle{E_{depois} = 0 + 0 + \frac{1}{2} k Y^2 }$

Acontece que pela lei e conservação temos:

$\displaystyle{E_{antes} = E_{depois} }$

E com isso podemos achar o valor de $k$.

$\displaystyle{mg(h+Y) = \frac{1}{2} k Y^2 }$

$\displaystyle{k=\frac{2mg(h+Y)}{Y^2} }$

O nosso problema nos diz que:

$\displaystyle{m=2.6 \text{kg}}$

$\displaystyle{h=55 \text{cm}=0.55 \text{m}}}$

$\displaystyle{Y=15 \text{cm}=0.15 \text{m}}}$

Ainda, $g =9.8 \text{ms}^{-2}$

Logo:

$\displaystyle{k=\frac{2\cdot2.6 \text{kg}\cdot 9.8 \text{ms}^{-2}\cdot(0.55 \text{m}+0.15 \text{m})}{(0.15 \text{m})^2} }$

$\displaystyle{k=\frac{50.92 \text{kg}\cdot \text{ms}^{-2}\cdot0.70 \text{m}}{0.0225 \text{m}^2} }$

$\displaystyle{k=\frac{35.672 \text{kg}\cdot \text{m}^2\text{s}^{-2}}{0.0225 \text{m}^2} }$

$\displaystyle{k\approx1585 \text{kg}\cdot \text{s}^{-2}}$

Logo a constante da mola é de 1585 kg/s² ou N/m.

Answer 2

Resposta:

Solução:

$\sf \displaystyle Dados: \begin{cases}\sf m= 2,60 \: kg \\\sf V_A = 0\\\sf v_B = 0\\ \sf h_A = 55\;cm + 15\:cm = 70 \:cm \div 100 = 0,70 \: m \\ \sf h_B = 0 \\ \sf x_A = 0 \\ \sf x_B = 15 \: cm \div 100 = 0,15 \: m \\ \sf g = 10\:m/s^2\\ \sf k = \:? \: N/m \end{cases}$

Ocorre a conservação da energia mecânica. Sendo A a posição inicial e máxima altura e B a posição final:

As energias mecânicas são iguais:

$\sf \displaystyle E_{M_A} = E_{M_B}$

$\sf \displaystyle E_{C_A} +E_{P_A} + E_{el_A} = E_{C_B} +E_{P_B} + E_{el_B}$

No ponto A:

$\sf \displaystyle E_{C_A} = \frac{m \cdot V_A^2}{2} = 0$

$\sf \displaystyle E_{C_A} = \frac{k \cdot x^2}{2} = 0$

No ponto B:

$\sf \displaystyle E_{C_B} = \frac{m \cdot V_B^2}{2} = 0$

A igualdade se torna:

$\sf \displaystyle E_{P_A} = E_{el_A}$

$\sf \displaystyle m \cdot g \cdot h_B = \dfrac{k \cdot x_B^2}{2}$

$\sf \displaystyle 2,60 \cdot 10 \cdot 0,70 = \dfrac{k \cdot (0,15)^2}{2}$

$\sf \displaystyle 182 = \dfrac{k \cdot 0,0225}{2}$

$\sf \displaystyle 182 =0,01125\:k$

$\sf \displaystyle 0,01125\: k = 182$

$\sf \displaystyle k = \dfrac{182}{0,01125}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle k \approx 1\:617,78 \:N/m }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

Explicação: