Question

Seja v = (−2, 3, 0, 6). Encontre todos os escalares k tais que |kv | = 5.

Answer 1

Seja o espaço vetorial $\mathbb{R}^4$ munido de produto interno usual, deste modo, a norma de um vetor v é dado pela norma-2 (ou usual)

$v = \left[\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{array}\right] \implies \|v\| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2}$

O espaço vetorial normado é um espaço vetorial cuja norma satisfaz as propriedades, para vetores v, u quaisquer no espaço e k escalar,

$i)\, \|w\| = 0 \iff w = 0$

$ii) \,\|k\cdot v\| = |k|\cdot \|v\|$

$iii)\, \|v+u\| \leq \|v\|+\|u\|$

A propriedade ii) será importante para a resolução do exercício, assim, vamos prová-la para o espaço vetorial $\mathbb{R}^4$ sobre os reais,

$k\cdot v =k\cdot \left[\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}k\cdot v_1\\k\cdot v_2\\k\cdot v_3\\k\cdot v_4\end{array}\right]$

$\implies \|k\cdot v\| = \sqrt{(k\cdot v_1)^2+(k\cdot v_2)^2+(k\cdot v_3)^2+(k\cdot v_4)^2} =\\\\ = \sqrt{k^2(v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2)} = \sqrt{k^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2}\\\\ = |k|\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2} = |k|\cdot \|v\|$

Com este resultado em mente podemos resolver o exercício. Dado um vetor v definido por

$v = \left[\begin{array}{c}-2\\3\\0\\6\end{array}\right]$

Queremos obter todos os escalares de k tal que ||kv|| = 5. Pela propriedade ii) da norma, podemos escrever a igualdade

$\|k\cdot v\| = 5 \iff |k|\cdot \|v\| = 5$

Como temos o vetor v podemos calcular a norma

$v = \left[\begin{array}{c}-2\\3\\0\\6\end{array}\right] \implies \|v\| = \sqrt{(-2)^2+3^2+0^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$

Assim,

$|k|\cdot 7 = 5 \iff |k| = \dfrac{5}{7}$

$\therefore k = \pm \dfrac{5}{7}$

Assim, são dois escalares possíveis, k = 5/7 ou k = -5/7

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