Question

Quando nós tossimos, o raio da nossa traqueia diminui, alterando a velocidade do ar que percorre a traqueia. A velocidade do ar pode ser então dada em função do raior subscript 0 normal da traqueia e do raio, quando ela está contraídar colon space v left parenthesis r right parenthesis equals a r squared left parenthesis r subscript 0 minus r right parenthesis , com sendo uma constante positiva.

Considerando essas informações e as etapas para a resolução de problemas de otimização, analise as afirmativas a seguir:

I. É possível encontrar a velocidade do ar que maximiza o raio rda traqueia.

II. O raio r da traqueia não pode assumir valores negativos.

III. Para encontrar um ponto crítico da funçãov left parenthesis r right parenthesis , é preciso determinar a derivada v apostrophe left parenthesis r right parenthesis

IV. O teste da segunda derivada irá determinar os valores de r , que são pontos de máximo relativo.

Está correto apenas o que se afirma em:

Answer 1

resposta:

(2/3) r0

Explicação passo-a-passo:

Solução: O raio r da traquéia contraída não pode ser negativo, nem maior que o raio normal, r0.

Assim, o objetivo é encontrar o máximo absoluto de v(r) no intervalo [0, r0 ]:

v ’(r) = 2 a r (r0 – r) + a r2 (–1) = a r (2 r0 – 3 r)

v ’(r) = 0 ñ r1 = 0 ou r2 = 0 3 2 r

Como r1 = 0 é um extremo do domínio, usamos o teste da segunda derivada apenas em r2:

v” (r) = 2 a (r0 – 3r) fl

v” ( 0 3 /2 r0 ) = – 2 a r0 < 0 => r2 = 2/3 r0 é ponto de máximo local. Analisando o valor de v no máximo local e nos extremos do intervalo, temos:

v (0) = 0, v ( 2/3r0 ) = 4a/27r 0 elevado a 3  e v (r0) = 0.

Logo, o máximo global de v é atingido em r2 = 2 / 3 r0 , o que significa que a velocidade do ar é  máxima quando o raio da traquéia contraída é igual a 2/3 do seu raio normal