Question

Sejam f e g as funções definidas por:

Answer 1

Letra a)

As funções são

$\begin{cases}\tt f(x)=\dfrac{1}{x+1}\\\\ \tt g(x)=\dfrac{x}{x-2}\end{cases}$

Dessa forma, f + g, f – g, f . g e f/g são dadas respectivamente por:

$\tt f+g=f(x)+g(x)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{x-2}{(x+1)(x-2)}+\dfrac{x(x+1)}{(x+1)(x-2)}\\\\\\ \tt f+g=\dfrac{x-2+x(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{x-2+x^2+x}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{x^2+2x-2}{(x+1)(x-2)}\\\\\\ \tt f+g=\dfrac{x^2+2x-2}{x^2-2x+x-2}=\dfrac{x^2+2x-2}{x^2-x-2}\\\\\\ \tt \boxed{\tt f+g=\dfrac{x^2+2x-2}{x^2-x-2}}$

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$\tt f-g =f(x)-g(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{x-2}{(x+1)(x-2)}-\dfrac{x(x+1)}{(x+1)(x-2)}\\\\\\ \tt f-g =\dfrac{x-2-x(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{x-2-x^2-x}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{-x^2-2}{(x+1)(x-2)}\\\\\\ \tt f-g=\dfrac{-x^2-2}{x^2-2x+x-2}=\dfrac{-x^2-2}{x^2-x-2}\\\\\\ \boxed{\tt f-g=\dfrac{-x^2-2}{x^2-x-2}}$

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$\tt f\cdot g=f(x)\cdot g(x)=\dfrac{1}{x+1}\cdot \dfrac{x}{x-2}=\dfrac{x}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{x}{x^2-2x+x-2}\\\\\\ \boxed{\tt f\cdot g=\dfrac{x}{x^2-x-2}}$

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$\tt f/g=\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1/(x+1)}{x/(x-2)}=\dfrac{1}{x+1}\cdot \dfrac{x-2}{x}=\dfrac{x-2}{x(x+1)}\\\\\\ \boxed{\tt f/g=\dfrac{x-2}{x(x+1)}}$

Letra b)

As funções racionais f + g, f – g e f . g têm todas o mesmo denominador (x + 1)(x – 2) = x² – x – 2; logo, a única restrição é que x² – x – 2 = (x + 1)(x – 2) ≠ 0, ou seja,

(x + 1)(x – 2)  ≠ 0

x + 1 ≠ 0   e   x – 2 ≠ 0

x ≠ – 1   e   x ≠ 2

Portanto, o domínio de cada uma das funções f + g, f – g e f . g é:

D(f + g) = D(f – g) = D(f . g) = {x ∈ ℝ | x ≠ – 1   e   x ≠ 2}

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A única restrição em f/g é que x(x + 1) ≠ 0, isto é,

x(x + 1) ≠ 0

x ≠ 0   e   x + 1 ≠ 0

x ≠ 0   e   x ≠ – 1

Portanto, o domínio da função f/g é:

D(f/g) = {x ∈ ℝ | x ≠ 0   e   x ≠ – 1}