Question

Resolva a equação biquadrada:

x^2+3x+ √x^2+3x-6=0
(Dentro da raiz fica o x^2+3x)
Resposta: (-4;1)

Answer 1

Resposta: S = {– 4 , 1}

Explicação passo-a-passo:

Impondo x² + 3x ≥ 0, obteremos:

$\tt x^2+3x+\sqrt{x^2+3x}-6=0\\\\ \tt x^2+3x+\sqrt{x^2+3x}=6\\\\ \tt \sqrt{x^2+3x}=6-(x^2+3x)\\\\ \tt \left(\sqrt{x^2+3x}\right)^2=\big[6-(x^2+3x)\big]^2\\\\ \tt x^2+3x=6^2-2\cdot 6\cdot (x^2+3x)+(x^2+3x)^2\\\\ \tt x^2+3x=36-12(x^2+3x)+(x^2+3x)^2\\\\ \tt 0=36-(x^2+3x)-12(x^2+3x)+(x^2+3x)^2\\\\ \tt \underbrace{\tt (x^2+3x)^2-13(x^2+3x)+36=0}_{ax^2\:\!+\:\!bx+\:\!c\,=\,0}$

Resolvendo a equação acima por fatoração, chegaremos a:

$\tt (x^2+3x)^2-4(x^2+3x)-9(x^2+3x)+36=0\\\\ \tt (x^2+3x)\big[(x^2+3x)-4\big]-9\big[(x^2+3x)-4\big]=0\\\\ \tt (x^2+3x)(x^2+3x-4)-9(x^2+3x-4)=0\\\\ \tt (x^2+3x-4)\big[(x^2+3x)-9\big]=0\\\\ \tt (x^2+3x-4)(x^2+3x-9)=0\\\\ \tt (x^2-x+4x-4)(x^2+3x-9)=0\\\\ \tt \big[x(x-1)+4(x-1)\big](x^2+3x-9)=0\\\\ \tt (x+4)(x-1)(x^2+3x-9)=0\\\\ x+4=0\ \ \:ou\ \ \: x-1=0\ \ \:ou\ \ \: x^2+3x-9=0\\\\ \tt \boxed{\tt x=-\, 4}\ \ \: ou\ \ \: \boxed{\sf x=1}\ \ \:ou\ \ \: \underbrace{\tt x^2+3x=9}_{invi\'avel}$

Perceba que x² + 3x jamais poderá ser igual a 9, haja vista que a equação irracional proposta pode ser reescrita como:

$\tt \sqrt{x^2+3x}=\!\underbrace{\tt 6-(x^2+3x)}_{maior\ ou\ igual \ a\ 0$

Pelo fato da raiz quadrada de qualquer real ≥ 0 jamais ser negativa, as únicas raízes válidas são – 4 e 1