Matéria: Matemática
Autor: joaovitoralvesdeoliv
Perguntado 5 anos atrás

(ITA) A expressão

log2 16−log4 32

é igual a:

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

De antemão, lembre-se das partes de um logaritmo:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf log_{\:a}~(b)=c\\\\\sf a=base~do~logaritmo\\\sf b=logaritmando\\\sf c=valor~do~logaritmo\end{array}}$

$~~$

Dada a expressão logarítmica abaixo:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=\:?\\\\\end{array}$

Vamos encontrar o seu valor.

→ Primeiro vamos transformar os logaritmando em potências de mesma base:

$\begin{array}{l}\\\sf ~~\bullet~~16=2\cdot2\cdot2\cdot2=2^4\\\sf~~\bullet~~32=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5\\\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=log_{\:2}~(2^4)-log_{\:4}~(2^5)\\\\\end{array}$

→ Agora vamos deixar as bases dos logaritmos iguais:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=log_{\:2}~(2^4)-log_{\:2^2}~(2^5)\\\\\end{array}$

→ Pela propriedade logₐᶜ (b) ⇔ 1/c * logₐ (b), o expoente da base passa sendo o seu inverso multiplicando o logaritmo. Assim obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=log_{\:2}~(2^4)-\dfrac{1}{2}\cdot log_{\:2}~(2^5)\\\\\end{array}$

→ E agora pela propriedade logₐ (bᶜ) ⇔ c * logₐ (b), o expoente do logaritmando passa multiplicando o logaritmo. Assim obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=4\cdot log_{\:2}~(2)-5\cdot\dfrac{1}{2}\cdot log_{\:2}~(2)\\\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=4\cdot log_{\:2}~(2)-\dfrac{5}{2}\cdot log_{\:2}~(2)\\\\\end{array}$

→ Veja que obtemos logaritmos com base e logarimando iguais, bem essa era a ideia aqui: logₐ (a) = 1 quando a base, e o logaritmando são iguais, é um:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=4\cdot1-\dfrac{5}{2}\cdot1\\\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=4-\dfrac{5}{2}\\\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=\dfrac{4\cdot2-5}{2}\\\\\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=\dfrac{8-5}{2}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf log_{\:2}~(16)-log_{\:4}~(32)=\dfrac{~3~}{2}}}\\\\\end{array}$