Question

O gráfico de y = ln (x) e a reta que passa pelos pontos (1,0) e (5, ln(5)) formam um região limitada R cuja área é:
A) 5 ln (√5) - 4
B) 5 ln (5) + 5
C) 6 ln (5) + 4
D) 6 ln (5) - 4
E) 6 ln (√5) - 4

Answer 1

A área calculada entre duas curvas, f(x) e g(x) num intervalo qualquer I de modo que

$f(x) \geq g(x), \hspace{0.6cm} \forall x \in I$

em que, nos extremos de I implicam na igualdade de f e g, a área é calculada a partir da integral

$A = \displaystyle \int_a^b f(x)-g(x) \, dx$

$Onde \ f(a) = g(a), \hspace{0.2cm} f(b)=g(b)$

A área que queremos obter é da região que as funções

$f(x) = \ln(x), \hspace{0.4cm} g(x) = \dfrac{\ln(5)}{4}(x-1)$

formam sua fronteira e

$f(1) = g(1) = 0, \hspace{0.4cm} f(5)=g(5)= \ln(5)$

Portanto, a área da região R é dada por

$A = \displaystyle \int_1^5 \ln(x)-\dfrac{\ln(5)}{4}(x-1) \, dx$

$A = x\ln(x)-x-\dfrac{\ln(5)}{8}x^2+\dfrac{\ln(5)}{4}x\Big|_1^5$

$A = 5\ln(5)-5-\dfrac{\ln(5)}{8}\cdot 25 + \dfrac{\ln(5)}{4}\cdot 5 - \left(0-1-\dfrac{\ln(5)}{8}+\dfrac{\ln(5)}{4}\right)$

$A = 5\ln(5)-5-\dfrac{\ln(5)}{8}\cdot 25 + \dfrac{\ln(5)}{4}\cdot 5  +1+\dfrac{\ln(5)}{8}-\dfrac{\ln(5)}{4}$

$A = 5\ln(5)-\dfrac{\ln(5)}{8}\cdot 24 + \dfrac{\ln(5)}{4}\cdot4-4$

$A = 5\ln(5)-3\ln(5) +\ln(5)-4$

$A = 3\ln(5)-4$

No entanto, nenhuma das alternativas mostra este valor, na realidade, a alternativa correta utiliza de uma propriedade dos logaritmos, para k qualquer e x maior que zero,

$k\cdot \ln(x) = \ln(x^k)$

Em especial,

$\dfrac{1}{2}\cdot \ln(x)= \ln(\sqrt{x})$

Deste modo, podemos escrever nossa área como

$A = \dfrac{6}{2}\ln(5)-4$

e aplicar esta propriedade, obtendo

$\boxed{A = 6\ln(\sqrt{5})-4}$

Alternativa E

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