• Matéria: Matemática
  • Autor: srricaom
  • Perguntado 5 anos atrás

\int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x^{3} -x^{2} } } \, dx

Respostas

respondido por: Nefertitii
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Temos a seguinte integral:

\int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x^{3} -x^{2} } } \\

Primeiro vamos dar uma ajeitada nesse denominador, para que possamos usar uma certa regrinha chamada de frações parciais.

\int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x^{3} -x^{2} }}= \int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x {}^{2}.(x - 1) } }  \\

Agora vamos aplicar o método de resolução de integrais por frações parciais:

\frac{3x - 2}{x {}^{2}.(x - 1) }  =  \frac{A}{x}  +  \frac{  B }{x {}^{2} }  +  \frac{C}{x - 1}   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:\\  \\  \frac{3x - 2}{x {}^{2}.(x - 1) }  =  \frac{Ax {}^{2}  +  Bx}{x {}^{3} }  +  \frac{C}{x - 1}   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \frac{3x - 2}{x {}^{2} .(x - 1)}  =  \frac{(A x {}^{2} +  Bx).(x - 1) +  Cx {}^{3}  }{x {}^{3}.(x  - 1) } \:  \:  \:  \:  \:   \:  \: \\  \\  \frac{3x - 2}{x {}^{2}.(x - 1) }  =  \frac{Ax {}^{3}  -A x {}^{2}  + Bx {}^{2}  - Bx +  C x {}^{3} }{x {}^{3} .(x - 1)}  \\  \\  \frac{3x - 2}{x {}^{2} - 1 }  =  \frac{ \cancel{x}.( A x {}^{2}   -  Ax +  Bx  -  B + C x {}^{2} }{ \cancel{x {}^{3}}.(x - 1) }  \\  \\  \frac{3x - 2}{ \cancel{x  {}^{2} .(x - 1)}}  =  \frac{A x {}^{2}   - Ax +  Bx -  B + C x {}^{2}}{ \cancel{x {}^{2} .(x - 1)}}  \\  \\ 3x - 2 = A x {}^{2}   -  Ax +  Bx  -  B + C x {}^{2}

Agora vamos trabalhar com suposições, primeiro digamos que x seja igual a 0, pois fazendo isso vamos fazer com que a maioria dos termos sumam, restando apenas o valor de B:

3x -  2 = A x {}^{2}   -  Ax +  Bx  - B + C x {}^{2}  \:  \:  \:  \:  \: \\ 3.0 - 2 = A.0 {}^{2}    - A.0 + B.0  -   B+ C.0 {}^{2}  \\  - 2 =   - B.( - 1) \\  B = 2

Substituindo o valor de B:

3x - 2 = Ax {}^{2}   -   Ax  + 2x - 2 + Cx {}^{2}   \\ x = A x {}^{2}   -   A x + C x {}^{2} \\ x = x.(A x {}^{2}   -  Ax  + C x {}^{2}) \\ 1 = A x {}^{}   -  A + C x  {}^{}

Fazendo x = 0, temos que:

1 = A x {}^{}   -  A  + C x {}^{}  \:  \:  \\ 1 = A.0 {}^{}   -  A  + C.0 {}^{}  \\  A  = - 1

Agora vamos substituir o valor de A:

1 =  - 1 x - .( - 1) +  Cx \\ 1 =  - x + 1 +Cx \\ 1 - 1  +  x  =  Cx \\ Cx = x \\ C =  \frac{x}{x}  \\ C = 1

Portanto podemos escrever a integral da seguinte maneira:

\int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x^{3} -x^{2} } }  dx =\int\limits^3_2 \frac{ - 1}{x {}^{} } +  \frac{2}{x {}^{2} }   +  \frac{1}{(x - 1)}dx \\

Aplicando a integral em todos os termos:

\int\limits^3_2 -  \frac{1}{x}dx +  \int\limits^3_2 \frac{2}{x {}^{2} }dx  + \int\limits^3_2 \frac{1}{x - 1} dx \\

Integrando cada uma das funções:

 -  \ln( |x| )  -   \frac{2 {}^{} }{x}  +  \ln( |x - 1| )\bigg|_{2}^{3} \\

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

-  \ln( |3| ) -  \frac{2}{3} +  \ln( | 3 - 1|  ) -  \left(  -  \ln( |2| ) -  \frac{2}{2} +  \ln( | 2 - 1|  )\right) \\  \\       -  \ln( |3| ) -  \frac{2}{3}  +  \ln( |2| )  +  \ln( |2| ) + 1 + 0 \\  \\ 2 \ln(2)  - \ln(3) -  \frac{2}{3}  + 1 \\  \\ 2 \ln(2) -  \ln(3) -  \frac{2 + 3}{3}  \\  \\ \boxed{2 \ln(2)  -  \ln(3) +  \frac{1}{3} }

Espero ter ajudado

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