Question

$\int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x^{3} -x^{2} } } \, dx$

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x^{3} -x^{2} } }$

Primeiro vamos dar uma ajeitada nesse denominador, para que possamos usar uma certa regrinha chamada de frações parciais.

$\int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x^{3} -x^{2} }}= \int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x {}^{2}.(x - 1) } }$

Agora vamos aplicar o método de resolução de integrais por frações parciais:

$\frac{3x - 2}{x {}^{2}.(x - 1) } = \frac{A}{x} + \frac{ B }{x {}^{2} } + \frac{C}{x - 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\\ \\ \frac{3x - 2}{x {}^{2}.(x - 1) } = \frac{Ax {}^{2} + Bx}{x {}^{3} } + \frac{C}{x - 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{3x - 2}{x {}^{2} .(x - 1)} = \frac{(A x {}^{2} + Bx).(x - 1) + Cx {}^{3} }{x {}^{3}.(x - 1) } \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{3x - 2}{x {}^{2}.(x - 1) } = \frac{Ax {}^{3} -A x {}^{2} + Bx {}^{2} - Bx + C x {}^{3} }{x {}^{3} .(x - 1)} \\ \\ \frac{3x - 2}{x {}^{2} - 1 } = \frac{ \cancel{x}.( A x {}^{2} - Ax + Bx - B + C x {}^{2} }{ \cancel{x {}^{3}}.(x - 1) } \\ \\ \frac{3x - 2}{ \cancel{x {}^{2} .(x - 1)}} = \frac{A x {}^{2} - Ax + Bx - B + C x {}^{2}}{ \cancel{x {}^{2} .(x - 1)}} \\ \\ 3x - 2 = A x {}^{2} - Ax + Bx - B + C x {}^{2}$

Agora vamos trabalhar com suposições, primeiro digamos que x seja igual a 0, pois fazendo isso vamos fazer com que a maioria dos termos sumam, restando apenas o valor de B:

$3x - 2 = A x {}^{2} - Ax + Bx - B + C x {}^{2} \: \: \: \: \: \\ 3.0 - 2 = A.0 {}^{2} - A.0 + B.0 - B+ C.0 {}^{2} \\ - 2 = - B.( - 1) \\ B = 2$

Substituindo o valor de B:

$3x - 2 = Ax {}^{2} - Ax + 2x - 2 + Cx {}^{2} \\ x = A x {}^{2} - A x + C x {}^{2} \\ x = x.(A x {}^{2} - Ax + C x {}^{2}) \\ 1 = A x {}^{} - A + C x {}^{}$

Fazendo x = 0, temos que:

$1 = A x {}^{} - A + C x {}^{} \: \: \\ 1 = A.0 {}^{} - A + C.0 {}^{} \\ A = - 1$

Agora vamos substituir o valor de A:

$1 = - 1 x - .( - 1) + Cx \\ 1 = - x + 1 +Cx \\ 1 - 1 + x = Cx \\ Cx = x \\ C = \frac{x}{x} \\ C = 1$

Portanto podemos escrever a integral da seguinte maneira:

$\int\limits^3_2 {\frac{3x-2}{x^{3} -x^{2} } } dx =\int\limits^3_2 \frac{ - 1}{x {}^{} } + \frac{2}{x {}^{2} } + \frac{1}{(x - 1)}dx$

Aplicando a integral em todos os termos:

$\int\limits^3_2 - \frac{1}{x}dx + \int\limits^3_2 \frac{2}{x {}^{2} }dx + \int\limits^3_2 \frac{1}{x - 1} dx$

Integrando cada uma das funções:

$- \ln( |x| ) - \frac{2 {}^{} }{x} + \ln( |x - 1| )\bigg|_{2}^{3}$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$- \ln( |3| ) - \frac{2}{3} + \ln( | 3 - 1| ) - \left( - \ln( |2| ) - \frac{2}{2} + \ln( | 2 - 1| )\right) \\ \\ - \ln( |3| ) - \frac{2}{3} + \ln( |2| ) + \ln( |2| ) + 1 + 0 \\ \\ 2 \ln(2) - \ln(3) - \frac{2}{3} + 1 \\ \\ 2 \ln(2) - \ln(3) - \frac{2 + 3}{3} \\ \\ \boxed{2 \ln(2) - \ln(3) + \frac{1}{3} }$

Espero ter ajudado