Question

Use a integral definida para encontrar a área da superfície da esfera de raio R. Dica: Encontre a função cujo gráfico e a curva que forma a esfera após a rotação em torno do eixo x. Use também a simetria da esfera com respeito ao eixo y.

Answer 1

A área da superfície da esfera de raio r é A(r) = 4πr².

Use a integral definida para encontrar a área da superfície da esfera de raio r.

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• Observe a figura anexa e considere um anel na superfície da esfera. Esse anel terá um raio (x) que depende do raio (r) da esfera e do ângulo θ. Sendo dθ infinitesimal x é obtido por:

x = r ⋅ cos (θ) ①

• A largura desse anel, sendo de comprimento infinitesimal pode ser considerado igual ao comprimento do arco:

ℓ = r ⋅ dθ

• O perímetro do anel, de largura infinitesimal, é obtido por:

P(x) = 2π ⋅ x ②

• Substituindo ① em ②: Observe que a variável x desaparece e é substituída por θ.

P(θ) = 2π ⋅ r ⋅ cos (θ)

• A área da superfície do anel é obtida com o produto de seu perímetro pela sua largura.

dA(θ) = P(θ) ⋅ ℓ ⟹ Substitua os valores de P(θ) e ℓ.

dA(θ) = 2π ⋅ r ⋅ cos (θ) ⋅ r ⋅ dθ

dA(θ) = 2π ⋅ r² ⋅ cos (θ) dθ

• Integre no intervalo de 0 a π/2 obtendo a metade da área da esfera depois multiplique por 2 para obter a área total.

A(r) = 2 ∫dA(θ)

$\large \text { \sf A(r) = 2 \int\limits^{\frac {\pi} {2} }_{_0} 2 \pi r^2 \cdot cos (\theta) \cdot d\theta }$

$\large \text { \sf A(r) = 4 \pi r^2 \int\limits^{\frac {\pi} {2} }_{_0} cos (\theta) \cdot d\theta }$

$\large \text { \sf A(r) = 4 \pi r^2 \left [\Big sen (\theta) \right] \limits^{\frac {\pi} {2} }_{_0} }$

$\large \sf A(r) = 4 \pi r^2 \left[ sen \left(\dfrac {\pi}{2} \right) - sen (0) \right]$

$\large \sf A(r) = 4 \pi r^2 \left[ 1 - 0 \right]$

$\Large \sf A(r) = 4 \pi r^2$

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