Question

Obtenha a capacitância equivalente dos circuitos a seguir​

Answer 1

Uma breve correção, o enunciado fala "capacitância", entretanto é esperada a indutância equivalente, como fica evidente pela figura.

A indutância equivalente de uma associação de indutores é calculada de forma semelhante ao visto nas associações de resistores.

$\sf Indutores~em~Serie:~~\boxed{\sf L_{eq}~=~L_1+L_2+L_3+...+L_n}\\\\\\Indutores~em~Paralelo:~~\boxed{\sf \dfrac{1}{L_{eq}}~=~\dfrac{1}{L_1}+\dfrac{1}{L_2}+\dfrac{1}{L_3}+...+\dfrac{1}{L_n}}$

Ainda, no caso de 2 indutores em paralelo, podemos utilizar a simplificação:

$\boxed{\sf L_{eq}~=~\dfrac{L_1\cdot L_2}{L_1+L2}}$

Vamos agora "atacar" as associações mostradas por partes, simplificando aos poucos. Acompanhe junto aso desenhos anexados à resolução.

a)

As indutâncias de 40mH e 20mH estão em série, vamos então substitui-las por um indutor equivalente:

$\sf L_{eq}'~=~40\cdot 10^{-3}+20\cdot 10^-3\\\\\boxed{\sf L_{eq}'~=~60~mH}$

Os indutores de 60mH e de 30mH estão em paralelo, vamos substitui-lo por um equivalente:

$\sf L_{eq}'~=~\dfrac{60\cdot 10^{-3}\cdot 30\cdot 10^{-3}}{60\cdot 10^{-3}+30\cdot 10^{-3}}\\\\\\L_{eq}'~=~\dfrac{1800\cdot 10^{-6}}{90\cdot 10^{-3}}\\\\\\\boxed{\sf L_{eq}'~=~20~mH}}$

Substituindo os indutores de 100mH e 20mH (em série) por um equivalente:

$\sf L_{eq}'~=~100\cdot 10^{-3}+20\cdot 10^{-3}\\\\\\\boxed{\sf L_{eq}'~=~120~mH}$

Substituindo os indutores em paralelo 40mH e 120 mH:

$\sf L_{eq}'~=~\dfrac{40\cdot 10^{-3}\cdot 120\cdot 10^{-3}}{40\cdot 10^{-3}+ 120\cdot 10^{-3}}\\\\\\L_{eq}'~=~\dfrac{4800\cdot 10^{-6}}{160\cdot 10^{-3}}\\\\\\\boxed{\sf L_{eq}'~=~30~mH}$

Substituindo os indutores em série 20mH e 30 mH:

$\sf L_{eq}'~=~20\cdot 10^{-3}+30\cdot 10^{-3}\\\\\\\boxed{\sf L_{eq}'~=~50~mH}$

Por fim, vemos que a associação simplificada em 2 indutores de 50mH em paralelo, logo:

$\sf L_{eq}~=~\dfrac{50\cdot 10^{-3}\cdot 50\cdot 10^{-3}}{50\cdot 10^{-3}+ 50\cdot 10^{-3}}\\\\\\L_{eq}~=~\dfrac{2500\cdot 10^{-6}}{100\cdot 10^{-3}}\\\\\\\boxed{\sf L_{eq}~=~25~mH}$

b)

Substituindo os indutores de 60mH, 20mH e 30mH (em paralelo) por um indutor equivalente:

$\sf \dfrac{1}{L_{eq}'}~=~\dfrac{1}{60\cdot 10^{-3}}~+~\dfrac{1}{20\cdot 10^{-3}}~+~\dfrac{1}{30\cdot 10^{-3}}\\\\\\\sf \dfrac{1}{L_{eq}'}~=~\dfrac{1~+~3~+~2}{60\cdot 10^{-3}}\\\\\\\sf \dfrac{1}{L_{eq}'}~=~\dfrac{6}{60\cdot 10^{-3}}\\\\\\\sf \dfrac{1}{L_{eq}'}~=~\dfrac{1}{10\cdot 10^{-3}}\\\\\\\sf \dfrac{1}{L_{eq}'}~=~\dfrac{1}{10^{-2}}}\\\\\\\boxed{\sf L_{eq}'~=~10~mH}$

Substituindo os indutores em série 10mH e 20 mH:

$\sf L_{eq}'~=~10\cdot 10^{-3}+25\cdot 10^{-3}\\\\\\\boxed{\sf L_{eq}'~=~35~mH}$

Por fim, vemos que a associação simplificada em 2 indutores de 10mH e 35mH em paralelo, logo:

$\sf L_{eq}~=~\dfrac{10\cdot 10^{-3}\cdot 35\cdot 10^{-3}}{10\cdot 10^{-3}+ 35\cdot 10^{-3}}\\\\\\L_{eq}~=~\dfrac{350\cdot 10^{-6}}{45\cdot 10^{-3}}\\\\\\\boxed{\sf L_{eq}~=~\dfrac{70}{9}~mH}~~ou~~ \boxed{\sf L_{eq}~\approx~7,78~mH}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$