Question

escreva na forma trigonométrica z=2i

Answer 1

Encontrar o módulo e o argumento (ângulo) do número complexo $z.$


Se um número complexo $z$ está escrito na forma

$z=a+bi\;\;\;\;(a,\,b\in \mathbb{R}),$ então


$\bullet\;\;$ o módulo de $z$ é dado por

$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$


$\bullet\;\;$ o argumento de $z$ é o ângulo $\theta\;\;\;(\text{com }-\pi<\theta \leq \pi),$ de forma que

$\left\{\begin{array}{c} \cos \theta=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \end{array}\right.$


Uma vez encontrados o módulo e o argumento de $z,$ a forma trigonométrica do número $z$ é

$z=|z|\cdot (\cos \theta +i\,\mathrm{sen\,}\theta)$


Para esta questão, temos

$z=2i\\ \\ z=0+2i\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{c} a=0\\ b=2 \end{array} \right.$


Então o módulo de $z$ é

$|z|=\sqrt{0^{2}+{2}^{2}}\\ \\ |z|=\sqrt{0+4}\\ \\ |z|=\sqrt{4}\\ \\ |z|=2$


Encontrando o argumento $\theta$ do número $z:$

$\left\{\begin{array}{c} \cos \theta=\dfrac{0}{2}=0\\ \\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{2}{2}=1 \end{array}\right.\;\;\;\Rightarrow\;\;\theta=\frac{\pi}{2}$


Então, a forma trigonométrica de $z$ é

$z=|z|\cdot (\cos \theta +i\,\mathrm{sen\,}\theta)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}z=2\cdot (\cos \frac{\pi}{2} +i\,\mathrm{sen\,}\frac{\pi}{2}) \end{array}}$

Answer 2

Resposta:

Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0).

Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que: cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe:

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ

senӨ = b/p → b = p*senӨ

Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi.

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ)

Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações.