Question

Uma praça quadrada com lados medindo 15 metros possui um chafariz em formato de um hexágono regular bem no centro, com seus lados medindo 5 metros. Na parte em que não está o chafariz a prefeitura deseja colocar um piso de petit pavet para revitalizá- la e deixá-la mais atrativa. Quantos m2 de petit pavet serão necessários?

Dados: √3 = 1,73.

(A) 160,125 m2.
(B) 289,875 m2.
(C) 226,73 m2.
(D) 64,875 m2.
(E) 199,05 m2.

Answer 1

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⠀⠀☞ Subtraindo a área hexagonal do chafariz da área quadrada da praça encontramos 150,12 m² para colocar o piso de petit pavet, o que nos aproxima do item A). ✅

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⠀⠀Sabemos de início que a área da praça quadrada equivale ao produto de dois de seus lados:

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$\LARGE\blue{\sf A_p = 15 \cdot 15 = 215~m^2}$

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⠀⠀Já a área do hexágono regular formado pelo chafariz pode ser encontrada pela equação da área para um hexágono regular a partir de suas arestas (a):

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf A_h = \dfrac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_h = \dfrac{3 \cdot 1,73 \cdot 5^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_h = \dfrac{5,19 \cdot 25}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_h = \dfrac{129,75}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_h = 64,88~m^2}$

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⠀⠀Podemos desta forma subtrair a área da praça (215 m²) pela área do chafariz (64,88 m²):

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$\LARGE\blue{\sf A_p - A_h = 215 - 64,88}$

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$\LARGE\blue{\sf A_p - A_h = 150,12~m^2}$

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⠀⠀✋ Não temos nenhuma opção que corresponda à área encontrada, porém o item a) não só é o valor mais próximo superiormente como também pode ter ocorrido um erro de digitação onde ao invés de 6 era um 5. Confirme isso com o responsável pelo enunciado. ✌

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{A)}~\blue{ 160,125~m2 }~~~}}$ ✅

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⠀⠀" -Mas e se não lembrássemos da equação para a área de um hexágono regular?"⠀⠀

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⠀⠀Neste caso poderíamos encontrar sua área através da soma da área de 6 triângulos equiláteros resultantes da divisão do hexágono por segmentos de reta que partem do centro e vão até suas arestas. Sabemos que estes são triângulos equiláteros pois dividimos o ângulo central em seis (360 ÷ 6 = 60) e os ângulos internos em dois (120º ÷ 2 = 60º). Desta forma vamos analisar cada uma destes triângulos para encontrar sua área.

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⠀⠀Sabemos que a base destes triângulos será de 5 metros, mas e a sua altura (h)? Vamos encontrá-la a partir da relação trigonométrica da tangente. Ao desenharmos a altura destes triângulos (segmento que parte do centro do hexágono e vai até a mediatriz das arestas) estaremos também dividindo o ângulo de 60º ao meio, ou seja, separando 30º para cada metade. A partir da tangente de 30º teremos que:

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$\LARGE\blue{\sf tan(30) = \dfrac{h}{2,5}}$

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⠀⠀Sendo 30º um ângulo fundamental então sabemos que sua tangente é igual à √3 / 3:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2,5}{h} }}$

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⠀⠀Pela aproximação dada no enunciado temos que:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{1,73}{2} = \dfrac{2,5}{h}}$

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$\LARGE\blue{\sf 0,577 = \dfrac{2,5}{h}}$

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$\LARGE\blue{\sf h = \dfrac{2,5}{0,577}}$

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$\LARGE\blue{\sf h \approx 4,33~m}$

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⠀⠀Tendo encontrado a altura de cada um dos seis triângulos temos que a área do hexágono será de:

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$\LARGE\blue{\sf A_h \approx 6 \cdot \dfrac{5 \cdot 4,33}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_h \approx 6 \cdot \dfrac{21,65}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_h \approx 6 \cdot 10,825}$

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$\LARGE\blue{\sf A_h \approx 64,95~m^2}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

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