dados log3 = 0,3 e log3 = 0,48. Resolva a equação exponencial
${ 2}^{x} = 5$

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

Dado que:

log (2) = 0,3
log (3) = 0,48

obs.: lembrando que a base é 10.

$~~$

Vamos resolver a seguinte equação exponencial:

$\begin{array}{l}\\\sf2^x=5\\\\\end{array}$

Para resolver essa equação, a ideia era deixar as bases iguais para que fosse possível igualar os expoentes, porém como podemos ver, as bases 2 e 5 são diferentes.

Então podemos aplicar logaritmo, pois ele possui uma propriedade que nos ajuda a tira o x dali do expoente.

$~~$

Assim, aplicando logaritmo em ambos os membros:

$\begin{array}{l}\\\sf log~(2^x)=log~(5)\\\\\end{array}$

Primeiro vamos dar um jeito no log (5), pois não foi dado seu valor aproximado.

Sabemos que a base dos logaritmos é 10, já que se a base não aparece no inicio, então assumimos este valor:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:\!10}~(2^x)=log_{\:\!10}~(5)\\\\\end{array}$

Assim, pensando na propriedade logₐ (a) ⇔ 1 e em log (2) dado no início, podemos transformar o 5 numa divisão:

5 = 10/2

O que não é nenhum absurdo. Dessa forma:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:\!10}~(2^x)=log_{\:\!10}~\bigg(\dfrac{10}{2}\bigg)\\\\\end{array}$

Agora usando a propriedade logₐ (b/c) ⇔ logₐ (b) - logₐ (c):

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:\!10}~(2^x)=log_{\:\!10}~(10)-log_{\:\!10}~(2)\\\\\sf log_{\:\!10}~(2^x)=1-log_{\:\!10}~(2)\\\\\end{array}$

E assim podemos usar a seguinte propriedade para tirar o x do expoente logₐ (bᶜ) ⇔ c * logₐ (b):

$\begin{array}{l}\\\sf x\cdot log_{\:\!10}~(2)=1-log_{\:\!10}~(2)\\\\\sf x\cdot0,3=1-0,3\\\\\sf 0,3x=0,7\\\\\sf x=\dfrac{0,7}{0,3}\\\\\!\boxed{\sf x\,\approx\,2,3}\\\\\end{array}$