Question

Considere a função f : IR IR, f (x) = - 2 x² + bx - 6, onde b ∈ IR.
a) Para quais valores de b ∈ IR a função f admite pelo menos uma raiz real?

Answer 1

Para resolver esta questão, devemos lembrar as características necessárias que uma equação do segundo grau precisa ter para que suas raízes sejam reais, calculando o discriminante (Δ) da função apresentada, quando igualada a zero.

• O que é necessário para que as raízes sejam reais?

Toda equação do segundo grau pode ter seu discriminante calculado, também chamado de "Delta". Ele pode ser obtido por:

$\Delta = b^2-4\cdot a\cdot c$

Para que as raízes de uma equação do segundo grau sejam reais, o discriminante não pode ser negativo. Ou seja, ele deve ser igual a zero, ou maior que zero.

$\Delta \geq 0$

• Respondendo à Alternativa A

Temos a seguinte função:

$f(x) = -2\cdot x^2+b\cdot x -6$

Igualando a zero:

$-2\cdot x^2+b\cdot x-6=0$

Calculando o discriminante:

$\Delta = b^2-4\cdot (-2)\cdot (-6)$

$\Delta = b^2-2^4\cdot 3$

Pela propriedade anteriormente apresentada:

$b^2-2^4\cdot 3\geq 0$

$b^2\geq 2^4\cdot 3$

$b\geq 2^2\cdot \sqrt{3}$

$b\geq +/-\: 4\sqrt{3}$

É importante lembrar que, como o coeficiente B é elevado ao quadrado durante o cálculo do discriminante, independentemente de seu sinal, o resultado deste quadrado será sempre positivo.

Sendo assim, podemos pegar a condição mais abrangente:

$\boxed{\boxed{b\geq -4\sqrt{3}}}$

• Resposta

Para valores maiores ou iguais a - 4√3, a função possui ao menos uma raiz real.

• Não acredita?

Basta substituir o B por este valor, e calcular o Δ, e comprovará que o determinante será zero, ou por valores maiores que este, e poderá notar que o determinante será maior que zero.

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