Question

Calcule:

$\displaystyle \prod_{k=2}^{n} \dfrac {k^2}{k^2-1}$

Obs: Cálculo Completo!

Answer 1

Resposta: encontra-se no final desta resolução.

Reescrevendo o produtório e chamando-o de P, ficamos com:

$\tt P=\displaystyle\prod_{k\,=\,2}^{n}\dfrac{k^2}{k^2-1}=\prod_{k\,=\,2}^{n}\dfrac{k\cdot k}{k^2-1^2}=\prod_{k\,=\,2}^{n}\dfrac{k\cdot k}{(k+1)\!\:\!\cdot \!\:\!(k-1)}=\prod_{k\,=\,2}^{n}\dfrac{\left(\dfrac{k}{k+1}\right)}{\left(\dfrac{k-1}{k}\right)}$

Para uma melhor visualização do "cancelamento telescópico", considere a função $\boldsymbol{\sf f\!:\:\!\mathbb{N}^*\!\!\:\!\:\!\longrightarrow\mathbb{N}}$ dada por f(k) = (k – 1)/k. Se f(k) = (k – 1)/k, ∀k ∈ ℕ*, então f(k + 1) = [(k + 1) – 1]/(k + 1) = k/(k + 1), ∀k ∈ ℕ. Sendo assim, o produto P torna-se equivalente a:

$\tt P=\displaystyle\prod_{k\,=\,2}^{n}\dfrac{f(k+1)}{f(k)}=\dfrac{f(2+1)}{f(2)}\cdot \dfrac{f(3+1)}{f(3)}\cdot \dfrac{f(4+1)}{f(4)}\,\cdots\, \dfrac{f(n+1)}{f(n)}\\\\\\ \tt P=\dfrac{f(3)}{f(2)}\cdot \dfrac{f(4)}{f(3)}\cdot \dfrac{f(5)}{f(4)}\,\cdots\, \dfrac{f(n+1)}{f(n)}\\\\\\ \tt P=\dfrac{f(n+1)}{f(2)}\\\\\\ \tt P=\dfrac{\left(\dfrac{n}{n+1}\right)}{\left(\dfrac{2-1}{2}\right)}\\\\\\ \boxed{\tt P=\dfrac{2\:\!n}{n+1}}$