Question

A aproximação
(1+x)k ~1+kx
é frequentemente usado por engenheiros.

a) Deduza esse resultado e utilize-o para fazer ema estimativa rudimentar de (1,001)³⁷

b) Compare as duas estimativas com aquela produzida diretamente por um recurso computacional.

c) Mostre e justifique o porque dessa formula produzir uma estimativa muito ruim de (1,1)³⁷

Answer 1

Aproximações são muito importantes na aplicação de métodos e problemas em que o valor real da expressão é muito custoso de calcular. Um exemplo é encontrar o valor de

$(1+x)^k$

com x pequeno e k grande, já que envolve a soma de k+1 termos envolvendo fatoriais, já que o valor real é, pelo Teorema binomial,

$(1+x)^k = \displaystyle\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}x^i$

Aproximação por Truncamento

Para gerarmos uma aproximação para tal vamos fazer um tipo de aproximação muito comum, a aproximação por truncamento. Vamos escolher não somar todos os k+1 termos, mas somar até um termo específico e parar. Como você pode pensar, o erro dessa aproximação depende de onde cortaremos e do valor de x, uma vez que teremos de escolher uma potência de x para o qual seu valor se reduz o suficiente.

Supondo x suficientemente pequeno de modo que x² esteja suficientemente perto de zero, podemos truncar a soma em kx,

$(1+x)^k = 1+kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2 + \dots + kx^{k-1}+x^k\approx 1+kx+\mathcal{O}(x^2)$

A notação  $\mathcal{O}(f(x))$, chamada de notação de Grande-O, indica qual a ordem do erro obtido, mas não deixa explícito a função do erro, em vez disso, ele mostra que a função de erro é de uma família de funções

$\mathcal{O}(f(x)) = C\cdot f(x)$

para C constante que independe de x e chamamos as funções desta família de 'ordem de f(x)'.

Já que, para x muito menor que 1, qualquer potência maior que 2 será menor que x², portanto, o erro numérico, ε, é praticamente

$\epsilon(x) = \dfrac{k(k-1)}{2}x^2$

Perceba que ε(x) encaixa como uma função de ordem de x², portanto o erro é, de fato  $\mathcal{O}(x^2)$.

Na imagem estão plotados duas funções, em preto, a função  $(1+x)^k$, enquanto em vermelho, a aproximação  $1+kx$.

Perceba que as funções se tangenciam em x = 0 e se afastam cada vez mais conforme x aumenta, isso nos diz como a aproximação se comporta conforme o x que escolhemos, se x é mais próximo de zero, a diferença entre as funções (o erro absoluto) é pequeno e cresce conforme vamos nos afastando do zero, gerando erros cada vez mais grotescos

Aplicação

Vamos aplicar esta aproximação para no caso de x = 0.001 na potência de 37. De acordo com nossa aproximação,

$(1+0.001)^{37} \approx 1+ 37\cdot 0.001 = 1.037$

Que dá uma boa aproximação quando comparado ao valor literal da expressão calculado em python,

$(1+0.001)^{37} = 1.0376738364832279$

Com um erro numérico de

$\epsilon^* = \dfrac{37\cdot36}{2}\cdot 0.001^2 = 0.000666$

que é extremamente próximo do erro absoluto

$\epsilon = 0.0006738364832279409$

No entanto, se x é grande, esta aproximação se dá muito mal, vejamos no exemplo quando x = 0.1

$(1+0.1)^{37} \approx1+37\cdot 0.1 = 4.7$

Cujo erro é estupidamente alto, já que o valor real da expressão é

$(1+0.1)^{37} = 34.00394858615784$

Isso ocorre pois as demais potências de x não são insignificantes, só no terceiro termo da soma obtemos um erro significante de

$\dfrac{37\cdot 36}{2}\cdot 0.1**2 = 6.66$

Os demais termos somam erros que, no final, geram uma aproximação com erro superior à 600%.

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