Question

A função cujo gráfico consta abaixo é bijetora. Calcule sua inversa f^-1. *


y=x/(x-2)
y=2x/(x-2)
y=2x/(x-1)
y=x/(x-1)
y=(x-2)/x
y=(x-1)/x
y=(x-1)/(2x)
y=(x-2)/(2x)

Answer 1

A questão trata sobre função inversa e o método para encontrá-la.

Função inversa

Seja f uma função definida

$f: \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{CD}$

de modo que seja bijetora, então, existe uma única função g(x) tal que

$g:\mathbb{CD} \longrightarrow \mathbb{D}$

$g(f(x)) = x, \hspace{0.2cm} \forall x \in \mathbb{D}$

esta função g é chamada de função inversa de f e é denotada como

$g(x) \equiv f^{-1](x)$

Por equivalência, a inversa da inversa é a própria função, e isto é facilmente provado, seja h(x) a função inversa da inversa de f, deste modo, temos que

$h(f^{-1}(x)) = x$

Como todo x pertence ao contradomínio de f, então existe sempre um y tal que x = f(y), portanto,

$h(f^{-1}(f(y))) = f(y)$

No entanto,

$f^{-1}(f(y)) = y \implies h(f^{-1}(f(y))) = h(y) = f(y), \hspace{0.2cm} \forall y\in\mathbb{D}$

$\therefore h(y) \equiv f(y)$

Assim, obtemos que a composição de funções inversas é comutativa

$f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x$

No gráfico de f e sua inversa é possível perceber uma propriedade interessante, os gráficos são espelhados sob a reta y = x, ou seja, se o ponto (x, y) pertence ao gráfico de f, então, o ponto (y, x) pertence à sua inversa.

Exercício

Dada a função definida

$f:\mathbb{R}_+ - \{2\} \longrightarrow (0,1]$

$f(x) = \dfrac{x}{x-2}$[/tex]

Seja a função inversa de f uma função g(x), deste modo, vale, pela definição, que, para todo x no contradomínio,

$f(g(x)) = x$

Chamando g(x) = y, obtemos

$f(y) = x$

$\dfrac{y}{y-2} = x$

Queremos obter uma expressão para y, portanto devemos manipular algebricamente de modo à isolar y,

$y = x\cdot(y-2)$

$y = xy-2x$

$xy - y = 2x$

$y\cdot(x-1) = 2x$

$y = \dfrac{2x}{x-1}$

Retornando à y = g(x),

$g(x) = \dfrac{2x}{x-1}$

$\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{2x}{x-1}}$