Question

30 PONTOS!! PERGUNTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA
GALERA SOCORRO, AJUDA AKI

Answer 1

Pela resposta da letra $a),$ vimos que

vimos que o vetor $\overrightarrow{AB}$ é

$\overrightarrow{AB}=(4;\,2;\,4).$


e o vetor $\overrightarrow{BC}$ é

$\overrightarrow{BC}=(4-2t;\,6-t;\,2-2t),\;\;\;(t=2)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(4-2\cdot 2;\,6-2;\,2-2\cdot 2)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(4-4;\,6-2;\,2-4)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(0;\,4;\,-2)$


Como a base é um retângulo, temos que

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(0;\,4;\,-2)\\ \\ \overrightarrow{AD}=(0;\,4;\,-2)$


$\bullet\;\;$ Sendo $\alpha,\;\beta$ e $\gamma$ os ângulos diretores do versor

$\overrightarrow{AE}^{\circ}=(a,\;b,\;c)$

então, temos que

$\cos \alpha=a;\;\;\cos \beta=b;\;\;\cos \gamma=c$


Como temos $\beta=\gamma=45^{\circ},$ então

$\cos 45^{\circ}=b=c\\ \\ b=c=\frac{\sqrt{2}}{2}$


Como o módulo do versor $\overrightarrow{AE}^{\circ}$ é $1,$ temos que

$\|\overrightarrow{AE}^{\circ}\|=1\\ \\ \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=1\\ \\ \sqrt{a^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=1\\ \\ \sqrt{a^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1\\ \\ \sqrt{a^{2}+1}=1\\ \\ a^{2}+1=1\\ \\ a^{2}=0\\ \\ a=0$


Logo, o versor $\overrightarrow{AE}^{\circ}$ é

$\overrightarrow{AE}^{\circ}=(0;\,\frac{\sqrt{2}}{2};\,\frac{\sqrt{2}}{2})\\ \\ \overrightarrow{AE}^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (0;\,1;\,1)$


O versor acima nos fornece a direção do vetor $\overrightarrow{AE}.$ Então, podemos representar $\overrightarrow{AE}$ como

$\overrightarrow{AE}=k\cdot (0;\,1;\,1)\\ \\ \overrightarrow{AE}=(0;\,k;\,k)$

para algum escalar $k \neq 0.$


$\bullet\;\;$ O volume do paralelepípedo é numericamente igual ao módulo do produto misto entre três vetores linearmente independentes deste paralelepípedo.

Por exemplo, podemos tomar os vetores $\overrightarrow{AB},\;\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AE}.$


O volume do paralelepípedo é dado por

$V=|(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AE}|$


O produto misto pode ser calculado pelo determinante da matriz, onde cada linha contém as coordenadas de cada vetor:

$(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AE}=\det\left[ \begin{array}{ccc} 4&2&4\\ 0&4&-2\\ 0&k&k \end{array} \right ]\\ \\ \\ (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AE}=16k+8k\\ \\ (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AE}=24k$


Então, o volume do paralelepípedo é

$V=|24k|$


Como queremos que o volume seja igual a $48,$ devemos ter

$48=|24k|\\ \\ 48=24\cdot |k|\\ \\ |k|=\frac{48}{24}\\ \\ |k|=2\\ \\ k=-2\;\;\text{ ou }\;\;k=2$


Logo, temos duas possibilidades para as coordenadas do vetor
$\overrightarrow{AE}:$

$\overrightarrow{AE}=(0;\,k;\,k)\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AE}=(0;\,-2;\,-2)&\;\text{ ou }\;&\overrightarrow{AE}=(0;\,2;\,2) \end{array}}$