Question

Dois blocos, A e B, de massas mA e mB, estão apoiados em um plano horizontal e
interligados por um fio inextensível, de massa desprezível. Uma força ~F constante é aplicada por um operador no bloco B, orientada da esquerda para a direita. Determinar:
(a) Desprezando todas a formas de atrito:
i. a aceleração dos corpos;
ii. a tração no fio.
(b) Considerando que o coeficiente de atrito entre os corpos e o
plano é A e B, respectivamente:
i. a aceleração dos corpos;
ii. a tração no fio.

imagem a seguir

Answer 1

item a)

i ) Aceleração dos corpos

Bloco A :

$\text{Fr} = \text T \to \text m_\text A.\text a = \text T$

Bloco B :

$\text{Fr} = \text F - \text T \to \text m_\text B .\text a = \text F - \text T$  

Somando :

$\text m_\text A.\text a + \text m_\text B.\text a = \text F$

$\text a .(m_\text A + \text m_\text B) = \text F$

$\huge\boxed{\text a = \frac{\text F }{(\text m_\tex A + \text m_\text B) } }$

ii ) a tração no fio :

$\text T = \text m_\text A.\text a$

$\displaystyle \text T =\text m_\text A. \frac{\text T }{(\text m_\text A + \text m_\text B)}$

$\huge\boxed{\displaystyle \text T = \frac{\text m_\text A.\text T }{\text m_\text A + \text m_\text B}}$

item b )

i ) Considerando o coeficiente de atrito

1º Vamos estabelecer as forças atuantes.

Existe a força Normal (N) que é igual ao Peso (P = m.g ),  já que não há movimento na vertical.

Existe a força de atrito contrária ao movimento, dada por  :

$\text{Fat} = \mu.\text N \to \boxed{\text{Fat} = \mu.\text{m.g} }$

Sendo assim, temos :

Bloco A :

$\text{Fr} = \text{T} -\text{Fat}_\text A$

$\text m_\text A.\text a = \text T - \text{Fat}_\text A$  

Bloco B :

$\text{Fr} = \text F - \text T - \text{Fat}_\text B$

$\text m_\text B.\text a = \text F - \text T -\text{Fat}_\text B$  

Somando a equação do Bloco A com a Bloco B :

$\text m_\text B.\text a + \text m_\text A.\text a = \text F -\text{Fat}_\text A - \text{Fat}_\text B$

$\text a.(\text m_\text B+ \text m_\text A)= \text F -(\text{Fat}_\text A + \text{Fat}_\text B)$

$\displaystyle \text a= \frac{\text F -(\text{Fat}_\text A + \text{Fat}_\text B)}{(\text m_\text B+ \text m_\text A) }$

Sabendo que :

$\text{Fat}_\text A = \mu_\text A.\text m_\text A.\text g$

$\text{Fat}_\text B = \mu_\text B.\text m_\text B.\text g$

Substituindo na equação da aceleração :

$\displaystyle \text a= \frac{\text F -(\mu_\text A.\text m_\text A.\text g + \mu_\text B .\text m_B.\text g) }{(\text m_\text B+ \text m_\text A) }$

Portanto a aceleração é :

$\huge\boxed{\displaystyle \text a= \frac{\text F -\text g.(\mu_\text A.\text m_\text A + \mu_\text B .\text m_\text B) }{(\text m_\text B+ \text m_\text A) } }$    

ii ) A tração no fio :

Usando a equação do Bloco A :

$\text m_\text A.\text a = \text T - \text{Fat}_\text A$

$\text T = \text m_\text A.\text a + \text{Fat}_\text A$

$\displaystyle \text T = \text m_\text A.[\frac{\text F -\text g.(\mu_\text A.\text m_\text A + \mu_\text B .\text m_\text B) }{(\text m_\text B+ \text m_\text A) } }] + \mu_\text A.\text m_\text A.\text g$

$\boxed{\displaystyle \text T = \text m_\text A.[\ \frac{\text F -\text g.(\mu_\text A.\text m_\text A + \mu_\text B .\text m_\text B)}{(\text m_\text B+ \text m_\text A) } + \mu_\text A.\text g \ ] }}$

OU

$\displaystyle \text T = \frac{\text m_\text A.\text F -\text m_\text A.\text g.(\mu_\text A.\text m_\text A + \mu_\text B .\text m_\text B)+ \mu_\text A.\text m_\text A.\text g.(\text m_\text B+ \text m_\text A) )}{(\text m_\text B+ \text m_\text A) } }$

Colocando o $\text m_\text A.\text g$ em evidência, temos :

$\displaystyle \text T = \frac{\text m_\text A.\text F -\text m_\text A.\text g.(\mu_\text A.\text m_\text A + \mu_\text B .\text m_\text B + \mu_\text A.\text m_\text B+ \mu_\text A\text m_\text A)}{(\text m_\text B+ \text m_\text A) } }$

$\boxed{\displaystyle \text T = \frac{\text m_\text A.\text F -\text m_\text A.\text g.[2.\mu_\text A.\text m_\text A + \text m_\text B.(\mu_\text B + \mu_\text A)]}{(\text m_\text B+ \text m_\text A) } } }$