Question

Seja A parêntese esquerdo x subscrito 0 vírgula y subscrito 0 vírgula z subscrito 0 parêntese direito um ponto pertencente a um plano p e de um vetor n com seta para a direita no topo igual a parêntese esquerdo a vírgula b vírgula c parêntese direito normal (ortogonal) a p. O plano p pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P parêntese esquerdo x vírgula y vírgula z parêntese direito spacedo espaço tais que a pilha de vetores A P com seta para a direita no topo é ortogonal a n com seta para a direita no topo. O ponto p pertence a plano, se somente se: n com seta para a direita no topo. empilhar um espaço P com a seta para a direita no topo é igual ao espaço 0.

Determine uma equação geral do plano p que contém o ponto P parêntese esquerdo negativo 2 vírgula espaço 1 vírgula 2 parêntese direito e ponto com seta para a direita no topo igual a parêntese esquerdo 4 vírgula negativa 2 vírgula 3 parêntese direito como o vetor normal a p.

Answer 1

O enunciado fala de dois pontos que são A e P, sendo eles dados por:

$A(x_0,y_0,z_0) \: \: e \: \: P(x,y,z)$

Além disso ele fala de um vetor "n" normal a um plano P, dado por $n(a,b,c)$. Como esse vetor é normal ao plano, ele é necessariamente perpendicular a ele, portanto se tivéssemos dois vetores, poderíamos fazer o produto escalar deles e igualar a 0, já que o produto escalar de dois vetores perpendiculares é 0. Para montar o vetor, podemos trazer o vetor formado pelos pontos A e P para a origem, ou seja, vamos fazer a subtração do ponto final, pelo inicial, isto é, P - A = AP. Fazendo isso temos que:

$\vec{AP}=P - A \\ \vec{AP}= (x,y,z) - (x_0,y_0,z_0) \\ \vec{AP}=(x - x_0,y - y_0,z - z_0)$

Agora vamos fazer a multiplicação dos vetor n e AP e igualar a 0, já que são perpendiculares:

$\vec{AP} \cdot\vec{ n}=(x - x_0,y - y_0,z - z_0) \: \cdot \:(a,b,c) \\ \\ \vec{AP} \cdot\vec{ n}=a.( x - x_0) + b .(y - y_0) + c.(z - z_0) \\ \\ \vec{AP} \cdot\vec{ n}=ax + by + cz -a .x_0 - b.y_0 - z.z_0 \\ \\ \vec{AP} \cdot\vec{ n}=ax + by + cz - (a.x_0 + b.y_0 + c.z_0)$

Igualando isso a "0":

$ax + by + cz -(a .x_0 + b.y_0 + z.z_0 )= 0$

Portanto a equação geral de um plano é dada por essa relação citada acima. Agora que temos a equação, basta substituir os dados fornecidos pela questão:

$\vec{n}=(4,-2,3) \: \: e \: P(-2,1,2) \\ ax + by + cz -(a .x_0 + b.y_0 + z.z_0) = 0 \\ 4x - 2y + 3z - (4. ( - 2) + ( - 2).(1) + 3.2) = 0 \\ 4x - 2y + 3z - ( - 8 - 2 + 6 )= 0 \\ 4x - 2y + 3z - ( - 4) = 0 \\ \boxed{ 4x - 2y + 3z + 4 = 0}$

Espero ter ajudado