Em uma certa população costuma haver 20.000 casos de infectados por gripe por ano. Foi introduzida uma vacina anual que consegue, em cada ano, diminuir os casos em 30% sobre o número do ano anterior. Quantos anos, no mínimo, serão necessários para que a quantidade de infectados seja menor do que 4000 ?
Respostas
Para calcularmos o mínimo de anos necessários para que a quantidade de infectados por gripe seja inferior a 4000 indivíduos, por causa da aplicação de uma vacina anual que consegue, em cada ano, diminuir os casos em 30%, devemos saber que a porcentagem é uma porção que aumenta ou desconta de um valor. No caso, com o passar dos anos, é descontado.
Com isto, podemos escrever a seguinte fórmula:
- qtde de infectados - desconto =
- desconto = qtde de infectados × % redução
Logo, qtde de infectados - qtde de infectados × % redução =
Utilizando a equação, vamos calcular até encontrarmos a quantidade de infectados menor do que 4000:
atual → 20.000 casos
após 1 ano → 20.000 - 20.000 × 30% = 14.000
após 2 anos → 14.000 - 14.000 × 30% = 9.800
após 3 anos → 9.800 - 9.800 × 30% = 6.860
após 4 anos → 6.860 - 6.860 × 30% = 4.802
após 5 anos → 4.802 - 4.802 × 30% = 3.361,4
O cálculo acima, informa que após exatos 5 anos, o caso de infecção cai para 3.361,4. É menor do que 4000. Porém, o enunciado menciona a palavra-chave "mínimo". Ou seja, devemos descobrir 1 evento após a ocorrência de exatamente 4000 casos de infectados.
Com o cálculo acima, é possível saber que menor do que 4000 infectados está entre 4 e 5 anos.
Diante do exposto, podemos igualar a fórmula deduzida a pouco, à 4000. Ou seja, descobriremos exatamente a quantidade de infectados um ano antes de resultar 4000. Veja:
qtde de infectados - qtde de infectados × % redução = 4000
qtde de infectados - qtde de infectados × 30% = 4000
qtde de infectados - qtde de infectados × 0,3 = 4000
0,7 qtde de infectados = 4000
qtde de infectados = 4000/0,7
qtde de infectados = 5714,285714 ≅ 5714,3 ≅ 5714 (não existe meio infectado, logo, trabalharemos com 5714 ou 5715 infectados.)
Dividindo o total de casos de infectados pela qtde de casos de infectados após certo tempos, obteremos o tempo decorrido:
20.000 ÷ 5714,285714 = 3,5 anos
Ou seja, 3,5 anos haverá 5714 infectados
Passando-se mais um ano, ou seja, 4,5 anos: 5714 - 5714 × 30% = 3999,8 ( menor do que 4000, logo se utilizássemos 5715, daria mais de 4000 casos.)
Assim, com 4,5 anos no mínimo já atingirá a quantidade de infectados interior a 4000.
Resposta:
Portanto, após no mínimo 4,5 anos, a quantidade de infectados foi menor do que 4000.
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