Question

Fatore os seguintes polinômios, usando a diferença de quadrados:
a) x^2-81
b) 100-a^2
c) 1-m^2n^2
d) 16x^2-9y^2
e) 49h^2-81p^2
f)x^4-y^4

Answer 1

Resposta:

a) (x-9)(x+9)

b) (a-10)(a+10)

c) (mn-1)(mn+1)

d)(4x-3y)(4x+3y)

e)(7h-9p)(7h+9p)

f) (x^2-y^2)(x^2-y^2)

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

a )  ( x - 9 ) * ( x + 9 )

b )  ( 10 - a ) * ( 10 + a )

c ) $( 1 - m^{n} ) * ( 1 + m^{n} ) * ( 1 + m^{2n} )$

d )  ( 4x - 3y ) * ( 4x + 3y )

e ) ( 7h - 9 p ) * ( 7h + 9 p )

f ) ( x - y ) * ( x + y ) * ( x² + y²)

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Fatore os seguintes polinômios, usando a diferença de quadrados:

a) x^2-81          b) 100-a^2          c) 1-m^2n^2         d) 16x^2-9y^2

e) 49h^2-81p^2          f)x^4-y^4

Resolução :

Observação 1 → A diferença de quadrados é um produto notável , que desdobra em dois produtos, como aqui na forma genérica:

a² - b² = ( a - b ) * ( a + b)

a) x² - 81  =  x² - 9² = ( x - 9 ) * ( x + 9 )

b) 100 - a² = 10² - a² = ( 10 - a ) * ( 10 + a )

c)   $1 -(m^{2n})^{2}$

$1^{2} - (m^{(2n ) } )^2 = ( 1 - m^{2n} ) * ( 1 + m^{2n} )$

Mas ...

Ainda temos um Produto Notável   → Diferença de dois quadrados

$1-m^{2n} = 1^{2} -(m^{n} )^{2} = ( 1 - m^{n} ) * ( 1 + m^{n} )$

A razão é que  transformar  $m^{2n} = (m^{n} )^{2}$  , sendo um valor elevado ao quadrado podemos prolongar a fatoração , que ainda não estaria terminada.

Porque ter expoente " 2n " é o mesmo que ter "2 * n" , e podemos transformar numa potência de potência que terá como expoente    $n^{2}$

Observação 2 → quando se tem uma potência de potência, como, por exemplo :

$3^{10} = 3^{2*5} = (3^{5} )^2$  ( ( três levado a cinco) e isto tudo elevado ao quadrado )

E ao começar em $3^{10}$ posso passar para   $(3^{5} )^2$  , se daí tirar proveito para fatorar mais algo no exercício.

O que é o caso.

Resultado final

$( 1 - m^{n} ) * ( 1 + m^{n} ) * ( 1 + m^{2n} )$    

d) 16x² - 9y²

= 4² x² - 3²y²

= ( 4x )² - ( 3y )²

= ( 4x - 3y ) * ( 4x + 3y )

e) 49h² - 81p²

= 7² h² - 9² p²

= ( 7h )²- ( 9 p )²

= ( 7h - 9 p ) * ( 7h + 9 p )

f)  $x^{4} -y^{4}$

$x^{4} -y^{4} = (x^{2} )^2 - (y^{2} )^2$

( x² - y² ) * ( x² + y² )

Mas ...

Cálculo auxiliar

x² - y² ainda é um produto notável ; Diferença de dois quadrados

= ( x - y ) * ( x + y ) * ( x² + y²)  

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação      

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