Question

Derivada: f(t) = raiz de 2t+1/t-1

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre regras de derivação.

Devemos calcular a derivada da função $f(t)=\sqrt{\dfrac{2t+1}{t-1}}$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $t$

$(f(t))'=\left(\sqrt{\dfrac{2t+1}{t-1}}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(g(h(t)))'=h'(t)\cdot g'(h(t))$.
• Um radical pode ser reescrito como uma potência fracionária: $\sqrt[n]{t^m}=t^{\frac{m}{n}}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(t^n)'=n\cdot t^{n-1}$.
• A derivada de uma função racional $\dfrac{g(t)}{h(t)}$, em que $h(t),~h'(t)\neq0$ é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{g(t)}{h(t)}\right)'=\dfrac{g'(t)\cdot h(t)-g(t)\cdot h'(t)}{(h(t))^2}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função respeita a regra: $(a\cdot g(t))'=a\cdot g'(t)$

Aplique a regra da cadeia e a regra da potência, considerando $\sqrt{\dfrac{2t+1}{t-1}}=\left(\dfrac{2t+1}{t-1}\right)^{\frac{1}{2}}$

$f'(t)=\left(\dfrac{2t+1}{t-1}\right)'\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2t+1}{t-1}\right)^{\frac{1}{2}-1}$

Aplique a regra do quociente e some os valores no expoente

$f'(t)=\dfrac{(2t+1)'\cdot (t-1)-(2t+1)\cdot(t-1)'}{(t-1)^2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2t+1}{t-1}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Aplique a regra da soma e calcule a potência de expoente negativo, sabendo que $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n},~a\neq0$

$f'(t)=\dfrac{[(2t)'+(1)']\cdot(t-1)-(2t+1)\cdot[(t)'-(1)']}{(t-1)^2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\left(\dfrac{2t+1}{t-1}\right)^{\frac{1}{2}}}$

Reescreva a potência de expoente fracionário como radical e aplique as regras da potência e constante

$f'(t)=\dfrac{(2\cdot 1\cdot t^{1-1}+0)\cdot(t-1)-(2t-1)\cdot (1\cdot t^{1-1}+0)}{(t-1)^2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2t+1}{t-1}}}\\\\\\ f'(t)=\dfrac{2\cdot(t-1)-(2t+1)}{(t-1)^2}\cdot\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{\dfrac{2t+1}{t-1}}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$f'(t)=\dfrac{2t-2-2t-1}{(t-1)^2}\cdot\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{\dfrac{2t+1}{t-1}}}\\\\\\ f'(t)=\dfrac{-3}{(t-1)^2}\cdot\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{\dfrac{2t+1}{t-1}}}$

Calcule a fração de frações, sabendo que $\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\dfrac{b}{a},~a,~b\neq0$ e $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},~b\neq0$

$f'(t)=-\dfrac{3\cdot\sqrt{t-1}}{2\cdot(t-1)^2\cdot\sqrt{2t+1}}$

Podemos calcular a potência utilizando a regra $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$f'(t)=-\dfrac{3\cdot(t-1)^{\frac{1}{2}-2}}{2\cdot\sqrt{2t+1}}\\\\\\ f'(t)=-\dfrac{3\cdot (t-1)^{-\frac{3}{2}}}{2\cdot \sqrt{2t+1}}\\\\\\ f'(t)=-\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{(t-1)^3\cdot(2t+1)}}~~\checkmark$

Esta é a derivada desta função.