Question

As raízes da função quadrática f(x) = x² + x - 6 são os dois primeiros termos de uma progressão
aritmética crescente. Sabendo disto, qual será o 10° termo desta PA (progressão aritmética)?
a-43
b-42
c-30
d-33
e-35​

Answer 1

Resposta: A

Explicação passo-a-passo:

As raízes de uma função são os valores que $x$ que quando substituídos na lei de formação, fazem com que $f(x) = 0$. Para encontrarmos esses valores, basta igualarmos a função a zero:

$f(x) = 0 \implies x^2 + x - 6 = 0$

Utilizando a fórmula de Bháskara para a = 1, b = 1 e c = -6:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}$

$x = \frac{1 \pm 5}{2} \implies x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \text{ e } x_2 = \frac{1-5}{2} = -2$

Logo, os primeiros termos são 3 e -2, como a PA é crescente, então temos $a_1 = -2$ e $a_2 = 3$. Uma PA é uma sequência numérica onde cada termo é obtido ao somar um valor fixo ao termo anterior, esse valor fixo chamamos de razão. Se $a_2 = a_1 + r$, onde r é a razão, então:

$a_2 = a_1 + r \implies 3 = -2 + r \implies r = 5$

Utilizando a fórmula do termo geral:

$a_n = a_1 + (n-1)r \implies a_{10} = a_1 + 9r \implies a_{10} = -2 + 9 \cdot 5$

$a_{10} = -2 + 45 \implies a_{10} = 43$