Question

Dada a equação da elipse abaixo de centro na origem, encontre os vértices e focos da elipse.
9x² + 4y² = 36

Answer 1

Vamos reescrever a equação dada na forma canônica:

$9x^{2}+4y^{2}=36\\ \\ 9x^{2}+4y^{2}=36$


Dividindo os dois lados por $36,$ temos

$\dfrac{1}{36}\cdot (9x^{2}+4y^{2})=1\\ \\ \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\dfrac{x^{2}}{2^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1 \end{array}}$


A equação acima representa uma elipse centrada na origem (não houve translação).


O comprimento do semi-eixo maior (vertical) é

$a=3$


O comprimento do semi-eixo menor (horizontal) é

$b=2$


O eixo maior, onde estão os focos, é paralelo ao eixo $y:$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}\\ \\ 9=4+c^{2}\\ \\ c^{2}=9-4\\ \\ c^{2}=5\\ \\ c=\sqrt{5}$


$\bullet\;\;$ Os focos são os pontos $(0;\,\pm c):$

$(0;\,-\sqrt{5})\;\text{ e }\;(0;\,\sqrt{5}).$


$\bullet\;\;$ Os vértices são os pontos $(\pm a;\,0)\;\text{ e }\;(0;\;\pm b):$

$(-2;\,0),\;(2;\,0),\;(0;\,-3)\;\text{ e }\;(0;\,3).$