Question

Mostre que se a for um inteiro que deixa resto 3 na divisão por 6 então 72 | a² - 9

Answer 1

Se a deixa resto 3 na divisão por 6, por meio do algoritimo da divisão podemos escrever a da seguinte forma

$a=6q+3$ onde q é o quociente na divisão por 6, logo

$72|a^2-9\Rightarrow 72|(6q+3)^2-9\Rightarrow 72|36q^2+36q+9-9\Rightarrow 72|36(q^2+q)$

Agora perceba que basta mostrarmos que $q^2+q$ é par, pois se for par então essa expressão terá um fator 2 e podemos escrever ela da seguinte forma $q^2+q=2k$, então teriamos $36(q^2+q)\Rightarrow 36\cdot2k\Rightarrow 72k$ e poderiamos concluir o problema

Ora, se q for par então $q^2$ tamém seria par, logo teriamos $\overbrace{q^2}^{\mbox{par}}+\overbrace{q}^{\mbox{par}}=\mbox{par}$

Se q for impar então $q^2$ tambem seria impar e teriamos $\overbrace{q^2}^{\mbox{impar}}+\overbrace{q}^{\mbox{impar}}=\mbox{par}$

Ou seja, independente da paridade $q^2+q$ será par, portanto $q^2+q=2k$, por fim

$72|36(\overbrace{q^2+q}^{\mbox{par=2k}})\Rightarrow 72|36\cdot2k\Rightarrow 72|72k$