Question

lim x_ -1 x²+x-2
x²-1

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}$

Vamos estudar o sinal da função em questão

$f(x)=\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}$

Estudando o sinal do numerador

Achando as raízes:

$x^{2}+x-2=0~~~se~~~x=1~~ou~~x=-2~~(bh\'askara~ou~soma~e~produto)$

O gráfico de x² + x - 2 é uma parábola com concavidade voltada para cima (pois a = 1 > 0). Tendo duas raízes reais e distintas, sabemos então que a função toma valores negativos entre as raízes, e não-negativos no resto do domínio

Então:

$x^{2}+x-2~\textgreater~0~~se~x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)\\x^{2}+x-2~\textless~0~~se~x\in(-2,1)$

Estudando o sinal do denominador

Achando as raízes:

$x^{2}-1=0~~~\therefore~~~x^{2}=1~~~\therefore~~~x=\pm\sqrt{1}=\pm1$

Da mesma forma, o gráfico de x² - 1 é uma parábola com concavidade voltada para cima. Como a função possui duas raízes reais e distintas, temos que f(x) < 0 para x entre as raízes

Então:

$x^{2}-1~\textgreater~0~~~se~x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\\x^{2}-1~\textless~0~~~se~x\in(-1,~1)$
_____________

Para fazer o estudo de sinais de f(x), basta fazermos o quociente de sinais (a imagem está em anexo)

$f(x)~\textgreater~0~~se~x\in(-\infty,-2)\cup(-1,~1)\cup(1,+\infty)\\\\f(x)~\textless~0~~se~x\in(-2,-1)$

Com isso, já percebemos que o limite não existe, pois, olhando para os limites laterais, temos que

$\lim\limits_{x\rightarrow-1^{-}}\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}~\textless~0$

Pois, tomando x arbitrariamente próximo de - 1 pela esquerda, temos que f(x) toma valores negativos

e

$\lim\limits_{x\rightarrow-1^{+}}\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}~\textgreater~0$

Já que, se tomarmos x arbitrariamente próximo de - 1 pela direita, f(x) retorna valores positivos

Como temos limites laterais diferentes, o limite em questão não existe

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}~~n\~ao~existe!}}$