Question

derive as funções.
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a) f(x) = (3x -1) (2 - x )

Answer 1

Regra do produto

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)}}$

"Derivada da primeira vezes a segunda + derivada da segunda vezes a primeira"

Regra da cadeia

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)}}$

Usamos a regra da cadeia para derivar composição de funções
___________________________

$f(x)=(3x-1)^{5}\cdot(2-x)^{4}$

Pela regra do produto, temos:

$f'(x)=(2-x)^{4}\frac{d}{dx}(3x-1)^{5}+(3x-1)^{5}\frac{d}{dx}(2-x)^{4}$

Vamos achar as derivadas separadamente:

$g(x)=(3x-1)^{5}$

Sendo m(x) = x⁵ e n(x) = 3x - 1, então g(x) = m(n(x)). Portanto:

$g'(x)=m'(n(x))\cdot n'(x)\\\\g'(x)=5(n(x))^{4}\cdot(3x-1)'\\\\g'(x)=5(3x-1)^{4}\cdot3\\\\\boxed{\boxed{g'(x)=15(3x-1)^{4}}}$
___

$h(x)=(2-x)^{4}$

Se tomarmos m(x) = x⁴ e n(x) = 2 - x, temos h(x) = m(n(x))

$h'(x)=m'(n(x))\cdot n'(x)\\\\h'(x)=4(n(x))^{3}\cdot(2-x)'\\\\h'(x)=4(2-x)^{3}\cdot(-1)\\\\\boxed{\boxed{h'(x)=-4(2-x)^{3}}}$

Então:

$f'(x)=(2-x)^{4}\frac{d}{dx}(3x-1)^{5}+(3x-1)^{5}\frac{d}{dx}(2-x)^{4}\\\\f'(x)=(2-x)^{4}\cdot15(3x-1)^{4}+(3x-1)^{5}\cdot(-4)\cdot(2-x)^{3}\\\\f'(x)=15(3x-1)^{4}(2-x)^{4}-4(3x-1)^{5}(2-x)^{3}$

Colocando (3x - 1)⁴(2 - x)³ em evidência:

$f'(x)=15(3x-1)^{4}(2-x)^{4}-4(3x-1)^{5}(2-x)^{3}\\\\f'(x)=(3x-1)^{4}(2-x)^{3}\cdot[15\cdot(2-x)-4\cdot(3x-1)]\\\\f'(x)=(3x-1)^{4}\cdot(2-x)^{3}\cdot(30-15x-12x+4)\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=(3x-1)^{4}\cdot(2-x)^{3}\cdot(34-27x)}}$