Question

num triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4m e 1m respectivamente. Calcula área desse triângulo

Answer 1

Bom dia!

Das projeções saem os catetos:
Projeções:
m=4
n=1

Hipotenusa:
a=m+n=4+1=5

Catetos:
$b^2=an=5\cdot{1}\\ b^2=5\\ b=\sqrt{5}\\ c^2=am=5\cdot{4}\\ c^2=20\\ c=2\sqrt{5}$

Área do triângulo retângulo:
$A=\frac{bc}{2}=\frac{\sqrt{5}\cdot{2\sqrt{5}}}{2}\\ A=25$

Uma outra forma seria calcular a altura relativa à hipotenusa, assim:
$h^2=mn=4\cdot{1}\\ h^2=4\\ h=2$

$A=\frac{ah}{2}=\frac{5\cdot{2}}{2}\\ A=5$

Mais fácil, né? :D
Espero ter ajudado!

Answer 2

Vamos lá.

Note, Danielle, que temos, basicamente, 6 relações métricas num triângulo retângulo.
Assim, se chamarmos a hipotenusa de "a", os catetos de "b" e "c", a altura de "h" e as projeções de cada cateto sobre a hipotenusa de "m" e de "n", teremos as seguintes relações métricas básicas no triângulo retângulo:

i) a² = b² + c²
ii) b² = a*m
iii) c² = a*n
iv) h² = m*n
v) a*h = b*c
vi) a = m + n .

Agora vamos encontrar as medidas do que vai nos interessar, para que possamos calcular a área do triângulo retângulo da sua questão.


1) Veja que, como como as duas projeções medem, em metros, 4 e 1, então teremos que a hipotenusa valerá:

a = m + n ------- substituindo "m" por "4" e "n" por "1", em metros, teremos:
a = 4 + 1
a = 5 metros <---- Esta é a medida da hipotenusa.
 

2) Agora vamos vamos aplicar outra relação básica, que é:

2.i) b² = a*m ------ substituindo "a" por "5" e "m" por "4", teremos:

b² = 5*4
b² = 20
b = +-√(20) ------ veja que 20 = 2².5 . Assim:
b = +-√(2².5) ----- veja que o "2", por estar ao quadrado, sai de dentro da raiz, ficando assim:

b  = +-2√(5) ---- como não há medida negativa para um cateto, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

b = 2√(5) metros <----- Esta é a medida do cateto "b".

2.ii) c² = a*n ------ substituindo "a' por "5" e "n" por "1", em metros, teremos:

c² = 5*1
c² = 5
c = +-√(5)  ------ tomando-se apenas a raiz positiva, teremos que;
c = √(5) metros.


3) Agora veja: para calcular a a área de um triângulo retângulo,  basta que você multiplique os dois catetos e divida o resultado por "2". Assim, chamando a área de "A", teremos:

A = 2√(5)*√(5) / 2
A = 2*√(5*5) / 2
A = 2*√(25) / 2 ------ como √(25) = 5, teremos:
A = 2*5 / 2
A = 10/2
A = 5 m²  <----- Esta é a resposta. Esta é a área do triângulo da sua questão.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.