Question

Qual a probabilidade de que r pessoas façam aniversários em dias distintos?

Answer 1

Considerando apenas anos comuns (não-bissextos), temos o seguinte conjunto de dias de aniversários possíveis:

$D=\{1;\,2;\,3;\,\ldots,\;364;\,365\}$


$\bullet\;\;$ Ao escolher a 1ª pessoa (veja que nenhuma pessoa foi escolhida antes), a probabilidade de a data de aniversário dela ser diferente de todas as outras já escolhidas antes é

$p_{1}=\dfrac{365}{365}=1$


$\bullet\;\;$ Ao escolher a 2ª pessoa, a probabilidade de a data de aniversário dela ser diferente de todas as outras já escolhidas antes é

$p_{2}=\dfrac{365-1}{365}\\ \\ \\ p_{2}=\dfrac{364}{365}$


$\bullet\;\;$ Ao escolher a 3ª pessoa, a probabilidade de a data de aniversário dela ser diferente de todas as outras já escolhidas antes é

$p_{3}=\dfrac{365-2}{365}\\ \\ \\ p_{3}=\dfrac{363}{365}$

$\vdots$

$\bullet\;\;$ Ao escolher a $r$-ésima pessoa, a probabilidade de a data de aniversário dela ser diferente de todas as outras já escolhidas antes é

$p_{r}=\dfrac{365-r+1}{365}$


Então, a probabilidade de que $r$ pessoas façam aniversários em dias distintos é

$\mathrm{P}(r)=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}\\ \\ \mathrm{P}(r)=\dfrac{365}{365}\cdot \dfrac{364}{365}\cdot \ldots\cdot \dfrac{365-r+1}{365}\\ \\ \\ \mathrm{P}(r)=\dfrac{365\cdot 364\cdot \ldots \cdot (365-r+1)}{365^{r}}$


Multiplicando o numerador e o denominador por $(365-r)!,$ chegamos a

$\mathrm{P}(r)=\dfrac{365\cdot 364\cdot \ldots \cdot (365-r+1)\cdot (365-r)!}{365^{r}\cdot (365-r)!}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} \mathrm{P}(r)=\dfrac{365!}{365^{r}\cdot (365-r)!} \end{array} }$