Question

Um triângulo possui vértices nos pontos (2, -1), (4, -3) e (-2, -5). Determine:

a. As coordenadas de seu baricentro;
b. Os comprimentos das medianas desse triângulo.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja o triângulo cujos vértices são os pontos de coordenadas $(2,\,-1),~(4,\,-3)$ e $(-2,\,-5)$. Devemos determinar:

a) As coordenadas de seu baricentro

Sabendo que as coordenadas $(x_B,~y_B)$ do baricentro de um triângulo de vértices $(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ são calculadas pelas fórmulas: $x_B=\dfrac{x_0+x_1+x_2}{3}$ e $y_B=\dfrac{y_0+y_1+y_2}{3}$.

Assim, teremos:

$x_B=\dfrac{2+4-2}{3}\\\\\\ x_B=\dfrac{4}{3}\\\\\\ y_B=\dfrac{-1-3-5}{3}\\\\\\ y_B=-3$

As coordenadas do baricentro deste triângulo são $B~\left(\dfrac{4}{3},\,-3\right)$.

b) Os comprimentos das medianas deste triângulo

Sabemos que as medianas de um triângulo são os segmentos de reta que unem um vértice ao ponto médio do lado oposto a ele.

Considere que buscamos o comprimento da mediana que une o vértice de coordenadas $(x_0,~y_0)$ ao ponto médio do lado que une os vértices $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$. Utilizamos as fórmulas: $x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2},~y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$ e $d=\sqrt{(x_0-x_M)^2+(y_0-y_M)^2}$ para calcular seu comprimento.

Assim, calculemos o comprimento da mediana do lado oposto ao vértice de coordenadas $(2,\,-1)$:

Calculamos o ponto médio do lado que une os vértices $(4,\,-3)$ e $(-2,\,-5)$

$x_M=\dfrac{4-2}{2}=1\\\\\\ y_M=\dfrac{-3-5}{2}=-4$

Utilizamos a fórmula de distância:

$d=\sqrt{(2-1)^2+(-1-(-4))^2}$

Some os valores e calcule as potências e o radical

$d=\sqrt{1^2+3^2}\\\\\\ d =\sqrt{1+9}=\sqrt{10}~\bold{u.~c}$

Faça o mesmo para a mediana que une o vértice $(4,\,-3)$ ao ponto médio de $(2,\,-1)$ e $(-2,\,-5)$:

$x_M=\dfrac{2-2}{2}=0\\\\\\ y_M=\dfrac{-1-5}{2}=-3$

Utilizamos a fórmula de distância:

$d=\sqrt{(4-0)^2+(-3-(-3))^2}$

Some os valores e calcule as potências e o radical

$d=\sqrt{4^2+0^2}\\\\\\ d=\sqrt{16+0}=4~\bold{u.~c}$

Por fim, repita o processo para calcular o comprimento da mediana que une o vértice $(-2,\,-5)$ ao ponto médio do segmento que une os vértices $(2,\,-1)$ e $(4,\,-3)$

$x_M=\dfrac{2+4}{2}=3\\\\\\ y_M=\dfrac{-1-3}{2}=-2$

Utilizamos a fórmula de distância:

$d=\sqrt{(-2-3)^2+(-5-(-2))^2}$

Some os valores e calcule as potências e o radical

$d=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2}\\\\\\ d=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}~\bold{u.~c}$

Estas são as respostas para as alternativas desta questão.