Question

AJUDA!!!!ALGUÉM???
calcule cada integral
A) ∫x²cosxdx

b) ∫raiz cubica de x² lnxdx

Answer 1

Integração por partes: $\int\ { u} \, dv = u . v - \int\ {v} \, du$

$\int\ { x^{2} cos(x)} \, dx \\ \\ u = x^{2} \\ du= 2xdx \\ \\ dv = cos(x)dx \\ v = \int\ {cos(x)} \, dx = sen(x)$

Então:

$\int\ { x^{2} cos(x)} \, dx = x^{2} . sen(x) - \int\ { sen(x).2x} \, dx \\ \\ \int\ { x^{2} cos(x)} \, dx = x^{2} . sen(x) - 2\int\ { x.sen(x)} \, dx \\ \\ u = x \\ du = dx \\ \\ dv = sen(x) dx \\ v = \int\ {sen(x) } \, dx = -cos(x)$

$\int\ { x^{2} cos(x)} \, dx = x^{2} . sen(x) - 2[x . (-cos(x)) - \int\ {-cos(x)} \, dx ] \\ \\ \int\ { x^{2} cos(x)} \, dx = x^{2} . sen(x) - 2[-x.cos(x) + \int\ {cos(x)} \, dx ] \\ \\ \int\ { x^{2} cos(x)} \, dx = x^{2} . sen(x) - 2[-x.cos(x) + sen(x) ] \\ \\ \int\ { x^{2} cos(x)} \, dx = x^{2} . sen(x) +2x.cos(x) - 2 sen(x) +C$


$\int\ { \sqrt[3]{ x^{2} }. ln(x)} \, dx = \int\ { x^{ \frac{2}{3} } . ln(x)} \, dx \\ \\ u = ln(x) \\ du = \frac{1}{x}dx \\ \\ dv = x^{ \frac{2}{3} }dx \\ v = \int\ {x^{ \frac{2}{3} }} \, dx = \frac{ x^{ \frac{5}{3} } }{ \frac{5}{3} } = \frac{3. x^{ \frac{5}{3} } }{5}$

Assim,

$\int\ { x^{ \frac{2}{3} } . ln(x)} \, dx = ln(x) . \frac{3. x^{ \frac{5}{3} } }{5} - \int\ { \frac{3. x^{ \frac{5}{3} } }{5} . \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ \int\ { x^{ \frac{2}{3} } . ln(x)} \, dx = ln(x) . \frac{3. x^{ \frac{5}{3} } }{5} - \frac{3}{5} \int\ { x^{ \frac{2}{3} } } \, dx \\ \\ \int\ { x^{ \frac{2}{3} } . ln(x)} \, dx = ln(x) . \frac{3. x^{ \frac{5}{3} } }{5} - \frac{3}{5}. \frac{3. x^{ \frac{5}{3} } }{5} + C$
$\int\ { x^{ \frac{2}{3} } . ln(x)} \, dx = ln(x) . \frac{3. x^{ \frac{5}{3} } }{5} - \frac{9. x^{ \frac{5}{3} } }{25} + C \\ \\ = ln(x) . \frac{3. \sqrt[3]{ x^{5} } }{5} - \frac{9. \sqrt[3]{ x^{5} } }{25} + C$