Question

Prove que 1-tg²x/1+tg²x = cos2x.

Answer 1

Primeiro inicia-se com a relação decorrente da relação fundamental da trigonometria, que é obtida através da divisão da mesma por cos²(x):

$\frac{ \sin {}^{2} (x)}{ \cos {}^{2} (x)} + \frac{ \cos {}^{2}(x) }{ \cos {}^{2}(x) } = \frac{1}{ \cos {}^{2}(x) } \\ \\ \boxed{\tg {}^{2} + 1 = \sec {}^{2} (x)}$

Substituindo essa informação:

$\frac{1 - \tg {}^{2}(x) }{1 + \tg {}^{2} (x)} = \cos(2x) \\ \\ \frac{1 - \tg {}^{2}(x) }{ \sec {}^{2} (x)} = \cos(2x)$

Em relação a secante e a tangente ao quadrado, sabe-se que:

$\sec {}^{2} (x) = \frac{1}{ \cos {}^{2} (x)} \: \: \: e \: \: \: \tg {}^{2} (x) = \frac{ \sin {}^{2} (x)}{ \cos {}^{2} (x)}$

Substituindo essa informação:

$\frac{1 - \frac{ \sin {}^{2} (x)}{ \cos {}^{2} (x)} }{ \frac{1}{ \cos {}^{2} (x)} } = \cos(2x) \\ \\ \frac{ \frac{ \cos {}^{2} (x) - \sin {}^{2} (x)}{ \cancel{ \cos {}^{2} (x)}} }{ \frac{1}{ \cancel{\cos {}^{2} (x)}} } = \cos(2x) \\ \\ \cos {}^{2} (x) - \sin {}^{2} (x ) = \cos(2x)$

Agora em relação ao cosseno(2x), sabe-se que:

$\cos(x + x) = \cos {}^{} (x). \cos(x) - \sin(x). \sin(x) \\ \cos(2x) = \cos {}^{2} (x) - \sin {}^{2} (x)$

Substituindo:

$\cos {}^{2} (x) - \sin {}^{2} (x) = \cos {}^{2} (x) - \sin {}^{2} (x)$

Espero ter ajudado