Question

A aceleração angular de uma roda é , no SI. No instante t=0 a roda tem uma velocidade angular de 2rad/s e uma posição angular de 5rad. Escreva a expressão para a velocidade angular e para a posição angular em função do tempo.

Answer 1

Como a aceleração angular $\alpha$ é constante, temos um movimento circular uniformemente acelerado, em que

$\alpha=3,5\text{ rad/s}^{2}$


$\bullet\;\;$ Como $\alpha$ é a derivada da velocidade angular $\omega$ em relação ao tempo, temos que

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha\\ \\ \\ d\omega=\alpha\,dt$


Encontrando os limites de integração:

quando $t=0,$ temos que $\omega=\omega_{0};$

em um instante $t$ qualquer, teremos uma velocidade angular $\omega(t)$


Integrando os dois lados, teremos

$\int_{\omega_{0}}^{\omega(t)}{d\omega}=\int_{0}^{t}{\alpha\,dt}\\ \\ \\ \left[\omega\right]_{\omega_{0}}^{\omega(t)}=\alpha[t]_{0}^{t}\\ \\ \omega(t)-\omega_{0}=\alpha\,(t-0)\\ \\ \omega(t)=\omega_{0}+\alpha t$


Substituindo os valores dados, temos a velocidade angular em função do tempo:

$\boxed{\begin{array}{c} \omega(t)=2+3,5t \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Como $\omega$ é a derivada a posição angular $\theta$ em relação ao tempo, temos que

$\dfrac{d\theta}{dt}=\omega(t)\\ \\ \\ \dfrac{d\theta}{dt}=\omega_{0}+\alpha t\\ \\ \\ d\theta=(\omega_{0}+\alpha t)\,dt$


Encontrando os limites de integração:

quando $t=0,$ temos que $\theta=\theta_{0};$

em um instante $t$ qualquer, teremos uma posição angular $\theta(t)$


Integrando os dois lados, teremos

$\int_{\theta_{0}}^{\theta(t)}{d\theta}=\int_{0}^{t}{(\omega_{0}+\alpha t)\,dt}\\ \\ \\ \left[\theta \right ]_{\theta_{0}}^{\theta(t)}=\left[\omega_{0}\,t+\dfrac{\alpha t^{2}}{2} \right ]_{0}^{t}\\ \\ \\ \theta(t)-\theta_{0}=\omega_{0}\,t+\dfrac{\alpha t^{2}}{2}\\ \\ \\ \theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}\,t+\dfrac{\alpha t^{2}}{2}$


Substituindo os valores dados, a expressão para a posição angular em relação ao tempo é

$\boxed{\begin{array}{c} \theta(t)=5+2t+\dfrac{3,5 t^{2}}{2} \end{array}}$