Question

a) y = x – 3

b) y + 2 = x – 5

c) 2y = x - 1

d) x + y = 7

e) NDA.

Answer 1

Resposta:

Reta de equação   y = 2x - 8

Portanto nenhuma das indicadas , logo e)

Explicação passo-a-passo:  

Enunciado:

A equação da reta que passa pelo ponto A ( 5 ; 2 ) e que corta a reta

y = x - 1, num ponto B (fora dos eixos) tal que dAB = 2√5  é :

Resolução:

Dados:

A ( 5 ; 2 )

dAB = 2 √5

B ( x; y )  e ∉  aos eixos xx ou yy

A e B ∈ a uma reta que cruza a reta y = x - 1

B é o ponto de interseção das duas retas

Pedido:

Calcular a reta nestas condições

Para calcular essa reta, necessitamos de conhecer as coordenadas do ponto B.

Vai-se usar a noção de distância entre dois pontos.

$dAB= \sqrt{(x_{2}-x_{1} ) ^{2}+(y_{2} -y_{1 } )^2$

Onde

x1 - coordenada em x de ponto A

x2 - coordenada em x de ponto B

y1 - coordenada em y de ponto A

y2 - coordenada em y de ponto B

$dAB= \sqrt{(x_{2}-5) ^{2}+(y_{2} -2 )^2$

Por simplificação de escrita fica :  

x2 = x

y2 = y

Para encontrar as coordenadas do ponto B, é necessário construir um sistema de duas equações a duas incógnitas ; x e y.

{ $\sqrt{(x-5) ^{2}+(y -2 )^2 } =2*\sqrt{5}$

{ $y = x - 1$

Como a primeira equação é uma equação irracional ( estão incógnitas debaixo de raiz quadrada) o procedimento é elevar ambos os membros ao

quadrado.

{ $[\sqrt{(x-5) ^{2}+(y -2 )^2 } } ]^2=(2*\sqrt{5} )^2$

{ $y = x - 1$

Também se substitui na primeira equação o "y" pelo seu valor, retirado da segunda equação.

⇔

{ ${(x-5) ^{2}+(x-1 -2 )^2 } =2^2*(\sqrt{5} )^2$

{ $y = x - 1$

⇔

{ ${(x-5) ^{2}+(x-3 )^2 } =4*5$

{ $y = x - 1$

Desenvolvendo os produtos notáveis, " quadrado de uma diferença "

⇔

{ ${x^2-10x+25+x^2-6x+9 -20 =0$  

{ $y = x - 1$

⇔

{ $2x^2-16x+14 =0$

{ $y = x - 1$

Na primeira equação, dividir por 2  todos os termos , para simplificar

⇔

{ $x^2-8x+7 =0$

{ $y = x - 1$

Encontrar as raízes da equação do segundo grau pelo método em que se usa as noções de Soma e Produto das raízes.

x² - Sx + P = 0       S = soma das raízes      P  = Produto das raízes

S = - b/a               P = c/a

S =  8                    P = 7

O que é que multiplicado dá 7 e somado dá 8 ? É 7 e 1.

Chegamos aos valores de x = 7 ou x = 1

Nesta altura é necessário fazer uma verificação das soluções encontradas,

face ao enunciado do problema.

Muitas vezes, quando resolvemos equações irracionais, somos forçados a abandonar uma das raízes encontradas.

Se x = 7         y = 7 - 1 = 6       temos o ponto  ( 7 ; 6 )

Se x = 1          y = 1 - 1 = 0       temos o ponto  ( 1 ; 0 )

Neste caso havia uma condição sobre o ponto B que era estar " fora dos eixos".

O ponto de coordenadas ( 1 ; 0 ) tem que ser rejeitado porque pertence ao eixo dos xx.

Deste modo encontramos o ponto B ( 7 ; 6 )

Falta encontrar a reta que contém os pontos A ( 5 ; 2 ) e B ( 7 ; 6 )

É uma reta do tipo :

y = mx + n    com "m" e "n" ∈  R   e m ≠ 0

m = coeficiente angular

n = coeficiente linear

Representa uma função afim.

Em primeiro lugar vamos calcular o "m"

$m = \frac{y_{2} -y_{1} }{x_{2}-x_{1} }$       donde           $m= \frac{6-2}{7-6} =\frac{4}{2} =2$

Parte da equação da reta está encontrada

y = 2x + n

Usando as coordenadas do ponto A, por exemplo.

Podia ser o ponto B , já que ambos pertencem a esta reta.

2 = 2 * 5 + n

n = 2 - 10

n = - 8

Temos a equação completa:

y = 2x - 8

-----------------------------

Verificações :

Se os pontos A e B pertencem à reta encontrada

A ( 5 ; 2 )

2 = 2 * 5 - 8

2 = 2      verdadeiro e verificado

B ( 7 ; 6 )

6 = 2 * 7 - 8

6 = 6       verdadeiro e verificado

Verificar a distância entre A e B

$dAB= \sqrt{(7-5 ) ^{2}+(6 -2 } )^2 = \sqrt{4+16} =\sqrt{20} =\sqrt{2^{2}*5 } =\sqrt{2^{2} } *\sqrt{5} =2*\sqrt{5}$

verificada e correta

---------------------------------

Várias observações:

Obs 1 → a equação do 2º grau podia ter sido resolvida pela Fórmula de Bhascara

Obs 2 → É frequente as equações de funções afim serem apresentadas, também, na forma y = ax + b, onde "a" é o coeficiente angular e "b" o coeficiente linear.

Obs 3 → As equações a)  y = x - 3  e   b) y + 2  = x - 5 propostas no gabarito seriam descartadas logo de início já que tinham coeficientes angulares iguais ( valor 1) ao da equação y = x - 1.

Logo eram paralelas.

Obs 4 → Quanto ao ponto B ( 7 ; 6 ) não pertence as alíneas c) e d) do gabarito

c) 2 * 6 = 7 - 1    ⇔  12 = 6    Falso

d) 7 + 6 = 7  ⇔ 13 = 7     Falso

Obs 5 → Sempre que possível fazer verificações evitando erros

Bom estudo.

----------------------------

Sinais:  ( * ) multiplicação    ( / ) divisão     ( ∉ ) não pertence   ( ∈ ) pertence a

( dAB ) distância do ponto A ao ponto B          ( ⇔ ) equivalente a

( R ) números reais        ( ≠ ) diferente de

----------------------------

Qualquer dúvida contacte-me na zona dos comentários à resposta.

Nas respostas que dou, quase na totalidade, procuro não só efetuar os cálculos,  mas também explicar o porquê de como e porque se fazem de determinada maneira.

Se quer ver apenas os cálculos, eles estão aqui.

Se quer aprender como se faz, estude a minha resolução,  porque, o que sei, eu ensino.