Question

Determine as dimensões de um retângulo cujo perímetro é 10 para que ele tenha a maior área possível.
Determine a medida de um dos lados

Answer 1

Bora lá,

Um retângulo cujo perímetro é 10 para que a área seja a maior possível, beleza.

vamos dizer que esse retângulo tem dimensões 'a' e 'b', o perímetro seria dado por:

2a + 2b = 10      

2(a + b) = 10

a + b = 5           eq.1

E a área seria dada por:

A = a*b      eq.2

Isolando x na primeira equação (eq.1):

a = 5 - b   eq.3

Substituindo na eq.2:

A = (5 - b).b

A = 5b - b² daqui, a gente precisa saber os pontos críticos dessa função, ou seja, os pontos de máximo, onde b maximizaria a área do retângulo.

Pra isso a gente analisa os vértices dessa parábola -b² + 5b

A gente pode usar as fórmulas ou fazer na mão vai de cada um.

Pelas fórmulas:

Xv = -b/2a = -5/2.(-1) = -5/-2 = 5/2

Yv = -Δ/4a = -[5² + 4.(-1).0]/4.(-1) = 25/4

O que isso significa, que quando 'b' for igual a 5/2 a gente vai ter área máxima que é de 25/4, então, se 'b' for 5/2 a gente descobre o 'a' pela eq.3:

a = 5 - b = 5 - 5/2 = 5/2 (ou seja, 'a' e 'b' vão ter os mesmos valores para que a área seja máxima)

Dimensões : a = 5/2 e b = 5/2

Eu faria assim, valeu!

*Dica: Sempre que for maximizar a área de uma figura a dimensões vão ser iguais.