Question

resolução da EDO? (y2 - x) dx + 2y dy = 0

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre soluções de equações diferenciais ordinárias.

Seja a EDO:

$(y^2-x)\,dx+2y\,dy=0$

Divida ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$ e reorganize os termos:

$2y\cdot\dfrac{dy}{dx}+y^2-x=0$

Some $x$ em ambos os lados da igualdade

$2y\cdot\dfrac{dy}{dx}+y^2=x$

Faça uma substituição $u=y^2$. Diferencie ambos os lados da equação para encontrar o diferencial $\dfrac{du}{dx}$

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(y^2)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2\cdot y^{2-1}\cdot\dfrac{dy}{dx}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2y\cdot\dfrac{dy}{x}$

Assim, teremos:

$\dfrac{du}{dx}+u=x$

Esta é uma equação diferencial de Bernoulli, de forma $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, em que $P(x)=1,~Q(x)=x$ e $n=1$. Utilizamos o método do fator integrante para resolver esta equação:

$\bold{F.~I}=e^{\int P(x)\,dx}\\\\\\ \bold{F.~I}=e^{\int 1\,dx}$

Calcule a integral, utilizando a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$, sabendo que $1=x^0$.

$\bold{F.~I}=e^{\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1}\\\\\\ \bold{F.~I}=e^{x+C_1}$

Aplicando a propriedade de potências: $a^b\cdot a^c \Leftrightarrow a^{b+c}$ e considerando $e^{C_1}=C_2$, temos:

$\bold{F.~I}=C_2\cdot e^x$.

A solução de uma equação diferencial desta forma é calculada pela fórmula: $y=\dfrac{\displaystyle{\int Q(x)\cdot \bold{F.~I}\,dx}}{\bold{F.~I}}$. Assim, teremos:

$u=\dfrac{\displaystyle{\int x\cdot C_2\cdot e^x\,dx}}{C_2\cdot e^{x}}$

Aplique a regra da constante $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}$ e simplifique a fração por um fator $C_2$

$u=\dfrac{\displaystyle{\int x\cdot e^x\,dx}}{e^x}$

Calcule a integral, utilizando a técnica de integração por partes: faça uma substituição $t=x$ e $ds=e^x\,dx$. Diferencie a expressão em $t$ e integre a expressão em $ds$

$(t)'=(x)'\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=1\\\\\\ dt=dx\\\\\\ \displaystyle{\int ds=\int e^x\,dx}$

Calcule a integral utilizando o resultado imediato: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C}$

$s=e^x+C_3$

Substitua estes termos na fórmula: $\displaystyle{\int t\,ds=t\cdot s-\int s\,dt}$

$u=\dfrac{\displaystyle{x\cdot (e^x+C_3)-\int e^x + C_3\,dx}}{e^x}$

Calcule a integral utilizando a regra da soma: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$ e o resultado imediato apresentado anteriormente

$u=\dfrac{xe^x+C_3x-(e^x+C_3x+C_4)}{e^x}\\\\\\ u=\dfrac{xe^x+C_3x-e^x-C_3x-C_4}{e^x}$

Cancele os termos opostos e multiplique a fração por um fator $\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}$

$u=\dfrac{x\cdot e^x-e^x-C_4}{e^x}\cdot\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}\\\\\\ u=x-1-C_4e^{-x}$

Desfaça a substituição $u=y^2$ e considere $-C_4=C$

$y^2=x-1+Ce^{-x}$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade

$y=\pm\sqrt{x-1+Ce^{-x}},~C\in\mathbb{R}$

Estas são as soluções desta equação diferencial ordinária.