Question

A derivada da função g(x)=x/x+1

Sei que não é a resposta : g'(x)=x/x-1^2 *** PORQUE ERREI

Answer 1

Vamos usar a regra do quociente  :

$\displaystyle [\frac{\text{f }}{\text g }] ' = \frac{\text{f '. g - f . g ' }}{\text g^2}$

Temos a função :

$\displaystyle \text{g(x)} = \frac{\text x}{\text x+1 }$

Derivando :

$\displaystyle \text{g ' (x)} = [\frac{\text x}{\text x+1} ] '$

$\displaystyle \text{g '(x)}= \frac{\text{x'.(x+1) - x.(\text x+1)' }}{(\text{x+1})^2}$

$\displaystyle \text{g '(x)}= \frac{\text{x+1 - x }}{(\text{x+1})^2}$

$\huge\boxed{\displaystyle \text{g '(x)}= \frac{1}{(\text{x+1})^2}}\checkmark$

Answer 2

Olá,

Temos a função:

$\tt \: g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$

Queremos sua derivada.

Vamos encontrar essa derivada de duas formas distintas.

01) Usando a Regra do Quociente:

$\boxed{ \tt \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{ {g}^{2}} }$

Assim, temos:

$\tt \: g'(x) = \dfrac{1(x + 1) - x(1)}{(x + 1 {)}^{2} } \\ \tt \: g'(x) = \dfrac{x + 1 - x}{(x + 1 {)}^{2} } \\ \tt \: g'(x) = \dfrac{ \cancel{x} + 1 - \cancel{x}}{(x + 1 {)}^{2} } \\ \tt \: g'(x) = \frac{1}{(x + 1 {)}^{2} }$

02) Derivação logarítmica:

Este tipo de transformação é feita quando as funções envolvidas na derivação são difíceis de manipular na forma de potências, produtos e quociente.

Aplique o logaritmo (de preferência o logaritmo natural) na função que deseja derivar:

$\tt \: ln \: g(x) = ln \left( \frac{x}{x + 1} \right) \\ \tt \: ln \: g(x) = ln \: x + ln \: (x + 1)$

Derivando a expressão acima:

$\tt \: \dfrac{g(x)'}{g(x)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1} \\ \tt \: \dfrac{g(x)'}{g(x)} = \dfrac{x + 1 - x}{x(x + 1)} \\ \tt \: \dfrac{g(x)'}{g(x)} = \dfrac{ \cancel{x} + 1 - \cancel{x}}{x(x + 1)} \\ \tt \: \dfrac{g(x)'}{g(x)} = \dfrac{ 1 }{x(x + 1)} \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{x(x + 1)} \cdot \: g(x) \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{x(x + 1)} \cdot \: \dfrac{x}{x + 1} \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{ \cancel{x}(x + 1)} \cdot \: \dfrac{ \cancel{x}}{x + 1} \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{(x + 1)(x + 1)} \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{(x + 1 {)}^{2} }$

De ambas as formas, temos a derivada:

$\boxed{\tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{(x + 1{)}^{2} }}$