Question

Qual a integral?
\int \:xe^{-\frac{x}{2}}dx
Me ajudem por favor. Gostaria de aprender.

Answer 1

$\displaystyle\int \:xe^{-\frac{x}{2}}dx$

Se trata de uma integral que pode ser resolvida pela técnica de integração por partes, vou usar essa técnica pois se você tentar integrar por substituição não irá conseguir eliminar a variável x, a técnica de integração por partes nos diz que

$\displaystyle\int u\,dv=u\cdot v-\displaystyle\int v\,du$

Para isso vamos ter que escolher uma função u para derivar e uma função para integrar e encontrar v, tomando $\mathbf{u=x}$ e derivando em ambos os lados em relação a x chegamos a

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dx}{dx}\Rightarrow\boxed{du=dx}$

Tomando $\mathbf{dv=e^{-\frac{x}{2}}\,dx}$ e integrando em ambos os lados obtemos

$\displaystyle\int dv=\displaystyle\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx$

• Relembrando que quando tivermos a integral de $e^{\alpha x}$ com $\alpha\in\mathbb{R}$ e $\alpha\neq0$, podemos encontrar essa integral da seguinte forma

$\displaystyle\int e^{\alpha x}\.dx=\dfrac{1}{\alpha}\cdot e^{\alpha x}+C$

Aplicando isso então chegamos que

$\displaystyle\int dv=\displaystyle\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx=\dfrac{1}{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{x}{2}}+C\Rightarrow \boxed{v=-2e^{-\frac{x}{2}}}$

Substituindo agora na nossa integral por partes temos:

$\displaystyle\int \overbrace{u}^{x}\,\overbrace{dv}^{e^{-\frac{x}{2}}}=\overbrace{u}^{x}\cdot\overbrace{ v}^{-2e^{-\frac{x}{2}}}-\displaystyle\int \underbrace{v}_{{-2e^{-\frac{x}{2}}}}\,\underbrace{du}_{dx}\\\\\\\\=\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}-\displaystyle\int-2e^{=\frac{x}{2}}dx\\\\\\\\=\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\displaystyle\int e^{=\frac{x}{2}}dx$

A integral $\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx$ já foi calculada acima e nos dá $-2e^{-\frac{x}{2}}$, por fim:

$\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\displaystyle\int e^{=\frac{x}{2}}dx\\\\\\\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\cdot(-2e^{-\frac{x}{2}})$

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}-4e^{-\frac{x}{2}}+C}}$