Question

Um trapézio é isósceles e tem uma das bases de medida 6√2. O quadrilátero cujos vértices são os pontos médios do trapézio é um quadrado de lado 8. Calcule o perímetro do trapézio.​

Answer 1

Acompanhe com auxílio dos desenhos anexados à resolução.

Podemos ver pelos desenhos representações da situação descrita no texto, estes desenhos são essenciais para que possamos visualizar uma solução do problema.

No primeiro esboço, destacamos os segmentos que possuem mesma medida, note que esta indicação é feita pelo número de "tracinhos" na cor roxa .

Sabemos que o quadrado possui seus quatro ângulos internos medindo 90°, dessa forma, como o trapézio é isósceles, lados antiparalelos de mesma medida, os ângulos formados pelo encontro do quadrado com as bases do trapézio (x) serão iguais.

Ainda note que a soma de um angulo interno do quadrado com dois ângulos "x" resultam em um ângulo raso (180°), logo:

$\sf 90^\circ+ 2\cdot x~=~180^\circ~~~\Rightarrow~\boxed{\sf x~=~45^\circ}$

No 3º desenho, além dos dados já destacados acima, vamos utilizar outra informação do texto. Nos foi dito que uma das bases mede 6√2 (unidades de medida), mas não sabemos qual.

Observe que tanto o triângulo pintado de laranja quanto o triângulo pintado de rosa possuem um lado de medida 8, outro de medida "a" e angulo de 45° oposto ao angulo "a".

Com isso, podemos afirmar que, para este exercício, saber qual das bases tem a medida indicada no texto será irrelevante aos cálculos.

Como colocamos a medida indicada na base maior, vamos começar nossos cálculos desse "lado" do trapézio.

Note que podemos destacar aqui um triângulo com lados de medida 8, "a" e 3√2 e um ângulo de 45° oposto ao lado de medida "a".

Utilizando a Lei dos Cossenos:

$\sf a^2~=~8^2+\left(3\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 8\cdot 3\sqrt{2}\cdot cos(45^\circ)\\\\\\\sf a^2~=~8^2+\left(3\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 8\cdot 3\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\\a^2~=~64+3^2\cdot 2~-~\dfrac{2\cdot 8\cdot 3\cdot \sqrt{2}^{\,2}}{2}\\\\\\a^2~=~64+18~-~24\cdot 2\\\\\\a^2~=~64+18~-~48\\\\\\a^2~=~34\\\\\\\boxed{\sf a~=~\sqrt{34}}$

Voltando a atenção agora para o triângulo formado junto a base menor com medidas 8, "b" e "a" (√34) e um ângulo de 45° oposto ao lado de medida "a", vamos novamente aplicar a Lei dos Cossenos:

$\sf a^2~=~8^2+b^2~-~2\cdot 8\cdot b\cdot cos(45^\circ)\\\\\\\sqrt{34}^{\,2}~=~64+b^2~-~2\cdot 8\cdot b\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\\34~=~64+b^2~-~\dfrac{2\cdot 8\cdot b\cdot\sqrt{2}}{2}\\\\\\34~=~64+b^2~-~ 8\cdot b\cdot\sqrt{2}\\\\\\b^2-8\sqrt{2}\cdot b+30~=~0\\\\\\Aplicando~Bhaskara\\\\\\\Delta~=~(-8\sqrt{2})^2-4\cdot 1\cdot 30~=~\boxed{\sf 8}$

$b'~=~\dfrac{8\sqrt{2}~+~\sqrt{8}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{8\sqrt{2}~+~2\sqrt{2}}{2}~=~\boxed{5\sqrt{2}}\\\\\\b''~=~\dfrac{8\sqrt{2}~-~\sqrt{8}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{8\sqrt{2}~-~2\sqrt{2}}{2}~=~\boxed{3\sqrt{2}}$

Perceba que uma das soluções encontradas foi, justamente, a medida da base que já tínhamos anteriormente, ela representa a situação em que o trapézio seria, na verdade, um retângulo.

Como pudemos ver, "escolhemos" a base errada ao dizer que 6√2 era a medida da base maior do trapézio, mas, como antecipado, esse "erro" não teve influência nos cálculos.

Temos então que a medida de "b" é 5√2 unidades de medida.

Por fim, vamos determinar o perímetro desse trapézio:

$\sf Perimetro~=~2\cdot b~+~2\cdot a~+~2\cdot a~+~6\sqrt{2}\\\\\\Perimetro~=~2\cdot 5\sqrt{2}~+~2\cdot \sqrt{34}~+~2\cdot \sqrt{34}~+~6\sqrt{2}\\\\\\Perimetro~=~10\sqrt{2}~+~2\sqrt{34}~+~2\sqrt{34}~+~6\sqrt{2}\\\\\\\boxed{\sf Perimetro~=~16\sqrt{2}~+~4\sqrt{34}~~unidades~de~medida}\\\\ou\\\\\boxed{\sf Perimetro~\approx~45,95~unidades~de~medida}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$