Question

(JEE Main - 2016) Se a soma dos 10 primeiros termos da sequência
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$\begin{array}{l}\sf\bigg(\!1\dfrac{3}{5}\bigg)^2+\bigg(\!2\dfrac{2}{5}\bigg)^2+\bigg(\!3\dfrac{1}{5}\bigg)^2+\:4^2\:+\bigg(\!4\dfrac{4}{5}\bigg)^2+\dots=\dfrac{16}{5}m\end{array}$
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Então, m é igual a:
a) 102
b) 101
c) 100
d) 99

Answer 1

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⠀⠀☞ Tendo reescrito nossa sequência pudemos concluir que m é igual à soma dos 11 primeiros quadrados perfeitos (subtraído de 1) dividido por 5, o que resulta em 101 e nos leva à opção b). ✅

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⠀⠀Vamos inicialmente reescrever nossas frações mistas:

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$\blue{\sf~~\begin{cases}\text{ \sf~\left(1\dfrac{3}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{5}{5} + \dfrac{3}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{8}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 2}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{2^2}{5}} }\\\\ \text{ \sf~\left(2\dfrac{2}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{10}{5} + \dfrac{2}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{12}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 3}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{3^2}{5}} }\\\\ \text{ \sf~\left(3\dfrac{1}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{15}{5} + \dfrac{1}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{16}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 4}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{4^2}{5}} }\\\\ \text{ \sf~4^2 = \left(\dfrac{20}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 5}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{5^2}{5}} }\\\\ \text{ \sf~\left(4\dfrac{4}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{20}{5} + \dfrac{4}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{24}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 6}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{6^2}{5}} }\\\\ \end{cases}}$

$\blue{\sf~~\begin{cases}\text{ \sf~\left(5\dfrac{3}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{25}{5} + \dfrac{3}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{28}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 7}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{7^2}{5}} }\\\\ \text{ \sf~\left(6\dfrac{2}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{30}{5} + \dfrac{2}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{32}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 8}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{8^2}{5}} }\\\\ \text{ \sf~\left(7\dfrac{1}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{35}{5} + \dfrac{1}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{36}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 9}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{9^2}{5}} }\\\\ \text{ \sf~8^2 = \left(\dfrac{40}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 10}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{10^2}{5}} }\\\\ \text{ \sf~\left(8\dfrac{4}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{40}{5} + \dfrac{4}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{44}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4 \cdot 11}{5}\right)^2 = \boxed{~\dfrac{4^2}{5} \cdot \dfrac{11^2}{5}} } \end{cases}}$

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⠀⠀Podemos observar que em todos os termos deste sequência podemos colocar em evidência um fator 16/5, restando dentro dos parênteses uma soma de quadrados perfeitos dividida por 5:

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$\Large\blue{\sf \dfrac{16}{5} \cdot \dfrac{(2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 11^2)}{5}}$

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⠀⠀Para a soma dos n primeiros quadrados perfeitos temos a equação:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf S = \dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}{6}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀Para os 11 primeiros quadrados perfeitos temos:

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$\LARGE\blue{\sf S = \dfrac{11 \cdot 12 \cdot 23}{6}}$

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$\LARGE\blue{\sf S = \dfrac{3.036}{6}}$

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$\LARGE\blue{\sf S = 506}$

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⠀⠀Como em nossa sequência não temos o primeiro quadrado perfeito (1^2) então iremos subtrair 1 do valor encontrado:

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$\LARGE\blue{\sf 506 - 1 = 505}$

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⠀⠀E por fim, nosso último passo será dividir esta soma dos 11 primeiros quadrados perfeitos (menos o 1²) por cinco:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{505}{5} = 101}$

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⠀⠀O que nos leva à opção b). ✌

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{b)}~\blue{ 101 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:

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✈ Manipulação Algébrica (brainly.com.br/tarefa/37266101)  

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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Answer 2

                       $\boxed{\huge\texttt{Series e Sucessoes}}$

Nestes tipos de problemas, devemos procurar resolvê-los de 2 maneiras:

• Fatorar e elimine os termos

• Fatorar para formar uma soma notável (veja a imagem em anexo)

 

No problema que eles nos dão, devemos primeiro resolver as frações, lembrando-nos do seguinte :

$\boxed{\bf{a\dfrac{x}{y} =\dfrac{a(y)+x}{y} }}$

⇒ De onde temos que "a" é o inteiro; x/y é o número fracionário

Devemos também lembrar a seguinte soma notável chamada " soma de quadrados consecutivos" :

$\boxed{\bf{1^{2} +2^{2} +3^{2} +4^{2} +....+n^{2} =\dfrac{n(n+1)(n+1)(2n+1)}{6} }}$

⇒ Onde "n" é o número de termos

Levando em consideração o exposto, procedemos à resolução das frações:

$\Big{(}1\dfrac{3}{5} \Big{)}^{2} +\Big{(}2\dfrac{2}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}3\dfrac{1}{5}\Big{)}^{2} +4^{2} +\Big{(}4\dfrac{4}{5}\Big{)}^{2} +...=\dfrac{16}{5} m\\\\\\\texttt{Resolvemos as fracoes:}\\\\\Big{(}\dfrac{5(1)+3}{5} \Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{5(2)+2}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{5(3)+1}{5}\Big{)}^{2} +4^{2} +\Big{(}\dfrac{5(4)+4}{5}\Big{)}^{2} +...=\dfrac{16}{5} m$

$\Big{(}\dfrac{5+3}{5} \Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{10+2}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{15+1}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{20+4}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{24+4}{5}\Big{)}^{2} +...=\dfrac{16}{5} m\\\\\\\\\Big{(}\dfrac{8}{5} \Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{12}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{16}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{20}{5}\Big{)}^{2}+\Big{(}\dfrac{24}{5}\Big{)}^{2} +...=\dfrac{16}{5} m$

No numerador temos a sequência 8; 12; 16; 20 ..... Devemos encontrar o termo 10, ja que é solicitada a soma dos 10 termos:

$\mathbf{8\ ;\ 12\ ;\ 16\ ;\ 20\ ; ....\ ; T_{10} }$

 +4    +4    +4  

$\bold{Razao = +4}\\\\\boxed{\texttt{Enesimo termo "T(n)" = Termo 0 + (Razao)(n)}}\\\\\\\bold{T(n)=8-4+4(n)}\\\\\\\to \boxed{\bold{T(n)=4+4n}}$

Substituímos n = 10 para encontrar o décimo termo:

$\bold{T(10)=4+4(10)}\\\\\\\bold{T(10)=4+40}\\\\\\\ \boxed{\bold{T(10)=44}}$

Isso indica que o 10º termo da série terá como 44 o numerador e 5 o denominador, portanto obtemos:

$\Big{(}\dfrac{8}{5} \Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{12}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{16}{5}\Big{)}^{2} +\Big{(}\dfrac{20}{5}\Big{)}^{2}+\Big{(}\dfrac{24}{5}\Big{)}^{2} +...+\Big{(}\dfrac{44}{5} \Big{)}^{2} =\dfrac{16}{5} m\\\\\\\texttt{Resolvemos:}\\\\\dfrac{64}{25} +\dfrac{144}{25} +\dfrac{256}{25} +\dfrac{400}{25} +\dfrac{576}{25} +...+\dfrac{1936}{25} =\dfrac{16}{5} m$

$\texttt{Fatoramos 16/5, pois e o fator comum aos outros termos:}\\\\\dfrac{16}{5} \Big{(}\dfrac{4}{5} +\dfrac{9}{5} +\dfrac{16}{5}+ \dfrac{25}{5} +\dfrac{36}{5} +...+\dfrac{121}{5} \Big{)}=\dfrac{16m}{5} \\\\\\\\\texttt{Homogeneizamos e expressamos o numerador em quadrados:}\\\\\dfrac{\not{16}}{\not{5}} \Big{(}\dfrac{2^{2}+3^{2} +4^{2} +5^{2} +6^{2} +...+11^{2} }{5} \Big{)}=\dfrac{\not{16}m}{\not{5}}\\\\\\ \dfrac{2^{2}+3^{2} +4^{2} +5^{2} +6^{2} +...+11^{2} }{5} =m$

Aplicamos a soma dos quadrados consecutivos  de 1² a 11² e subtraímos 1², pois não queremos adicionar este termo:

$\dfrac{(1^{2} +2^{2}+3^{2}+...+11^{2} )-1^{2} }{5} =m\\\\\\\dfrac{\Big{(}\dfrac{11(11+1)(11*2+1)}{6}\Big{ )} -1 }{5} =m\\\\\\\dfrac{\Big{(}\dfrac{11(\not{12})(23)}{\not{6}}\Big{ )} -1 }{5} =m\\\\\\\dfrac{(11)(2)(23)-1 }{5} =m\\\\\\\dfrac{506-1 }{5} =m\\\\\\505/5=m$

$\to \boxed{\boxed{\huge{\texttt{101 = m}}}}$

Veja uma tarefa de Série e Sucessoes semelhante:

https://brainly.com.br/tarefa/40142457

Espero ter ajudado, muito sorte!!