Question

(OBM) Qual dos números a seguir é o maior?
a) 3^45
b) 9^20
c) 27^14
d) 243^9
e) 81^12

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Answer 1

Resposta:

Letra E

$\boxed{3^{48}}$

Explicação passo-a-passo:

Toda essa questão gira em torno das propriedades de potenciação, há 8 propriedades muito importantes, porém aqui utilizaremos apenas uma! pois ela é o foco da questão.

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$\text{Propriedade: multiplica\c c\~ao dos expoentes}\\\\\left(a^n \right)^m = a^{n\cdot m}\\\\\text{Exemplo:}\\\\\left(2^3 \right)^5 = 2^{3\cdot 5}\\\\\left(2^3 \right)^5 = 2^{15}$

Essa é a propriedade principal aqui, outro ponto chave é notar que os números que estão na base são todos potência de 3, para verificar isso você pode fatorá-los e obterá o seguinte resultado:

                                                     $3^1 = 3\\\\3^2 = 9\\\\3^3 = 27\\\\3^4 = 81\\\\3^5 = 243$

Ou seja, temos que escrever esses números tudo em base 3, então teremos:

$\text{a) }\,3^{45}\\\\\text{b) }\left(3^2\right)^{20}\\\\\text{c) }\left(3^3\right)^{14}\\\\\text{d) }\left(3^5\right)^{9}\\\\\text{e) }\left(3^4\right)^{12}$

Agora temos que aplicar a propriedade de multiplicação dos expoentes:

$\text{a) }3^{45}\\\\\text{b) }3^{20\cdot 2}\\\\\text{c) }3^{14\cdot 3}\\\\\text{d) }3^{9\cdot 5}\\\\\text{e) }3^{12\cdot 4}$

Agora temos todas as alternativas em potência de 3, fazendo as multiplicações temos:

$\text{a) }3^{45}\\\\\text{b) }3^{40}\\\\\text{c) }3^{42}\\\\\text{d) }3^{45}\\\\\text{e) }3^{48}$

Portanto o maior número é o da letra e, pois ele tem o maior expoente de todos!

                                          $3^{48} > 3^{45} > 3^{42} > 3^{40}$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários