Question

02 ) O estrôncio 90 tem sua meia - vida de 28 anos aproximadamente . Para que 10,0 g desse isotopo se transformem em 250 mg , quantos anos deverão transcorrer ?​

Answer 1

A taxa de decaimento de um isótopo num determinado momento é proporcional a quantidade de isótopo ainda existente. Ou seja:

$\displaystyle{\frac{dN}{dt}=-\lambda N}$

Onde $\lambda$ é uma constante que depende do isótopo. O sinal de menos indica que a quantidade de isótopo decai ao longo do tempo.

Essa equação diferencial é simples de se resolver e tem por solução:

$\displaystyle{N(t) = Ce^{-\lambda t}}$

Sendo C uma constante que depende das condições iniciais.

Nós temos que $N(0) = 10$ gramas. Ou seja:

$N(0) = Ce^{-\lambda \cdot 0}=C = 10$

Com isso a nossa função é:

$\displaystyle{N(t) = 10e^{-\lambda t}}$

Para achar $\lambda$ usamos o fato de que a meia vida do isótopo é de 28 anos. Isso quer dizer que a cada 28 anos a quantidade de isótopo é metade da quantidade anterior. Quando $t = 28$ anos nós esperamos que haja apenas $5$ gramas de estrôncio restante.

Temos:

$\displaystyle{N(28) = 10e^{-\lambda\cdot 28} = 5}$

$\displaystyle{e^{-28\lambda } = \frac{5}{10}=\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{-28\lambda= \ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln(2)}$

$\displaystyle{\lambda= \frac{\ln(2)}{28}}$

Com isso a nossa função que nos dá a quantidade de estrôncio 90 em qualquer instante de tempo (em anos) é:

$\displaystyle{N(t) = 10e^{-\frac{\ln(2)}{28} t}}$

Essa função nos diz que começamos hoje com 10 gramas do isótopo e que a cada 28 anos a quantidade reduz pela metade. Podemos até achar a quantidade de isótopo para valores quebrados como daqui a 19,54 anos.

O problema nos pede para calcular quanto tempo demorará para que os 10 gramas inicias se tornem 250 miligramas, ou seja, 0.25 gramas.

Basta colocar na nossa função:

$\displaystyle{0.25= 10e^{-\frac{\ln(2)}{28} t}}$

$\displaystyle{0.025= e^{-\frac{\ln(2)}{28} t}}$

$\displaystyle{\ln(0.025)= -\frac{\ln(2)}{28} t}$

$\displaystyle{t= -\frac{28\ln(0.025)}{\ln(2)} }$

$\displaystyle{t\approx 149.014}$ anos.

Sendo assim deverão transcorrer cerca de 149,014 anos.