Question

3 - Imagine uma situação de contagem de possibilidades sem repetição e que não envolva questões

de ordem. A Análise Combinatória denomina isso uma questão de combinação simples. A expressão

matemática da combinação simples de n elementos tomados k a k é a seguinte:

Isso significa (num contexto em que a ordem não importa), em um conjunto com n elementos, o número

escolhas possíveis de k elementos, sem repetir. Por exemplo, se uma criança possui sete brinquedos

diferentes e vai escolher três deles para levar para um passeio, o número de possibilidades é:​

Answer 1

Resposta:

Alternativa (B) 154

Explicação passo-a-passo:

   C8,2 + C8,5 + C8,6

 

     8!          8!         8!          

--------- + --------- + ---------

  4! 4!       5! 3!        6! 2!                  

     8!          8!          8!                                

--------- + --------- + ---------

 24*24     120*6     720*2                    

 40320       40320     40320                    

 ----------  +  ----------  +  ----------

   576           720          1440    

70 + 56 + 28 = 154

Alternativa (B) 154

Answer 2

Utilizando conceitos de analise combinatória, vemos então que o total de formas que ela pode fazer esta escolha é de 154 formas.

Explicação passo-a-passo:

Para resolver esta questão, vamos obviamente como induzido pelo enunciado, utilizar a formula de combinações, dada por:

${N \choose p}=\frac{N!}{p!(n-p)!}$

Porém vamos além, vamos fazer separadamente três casos: O caso no qual Ana decide que o time que ela irá compor é de 4 membros, o caso de 5 membros e o caso de 6 membros.

Todos estes casos são simples combinações destas quantidade dentre o grupo total de 8 pessoas, portanto:

4 Membros:

Combinação de 4 pessoas dentre 8:

${8 \choose 4}=\frac{8!}{4!(8-4)!}$

Expandindo o 8! em cima até o valor de 4!:

${8 \choose 4}=\frac{8.7.6.5.4!}{4!4!}$

Cortando o 4! de cima com o de baixo e abrindo o 4! restante em fatores para simplificarmos:

${8 \choose 4}=\frac{8.7.6.5}{4!}$

${8 \choose 4}=\frac{8.7.6.5}{4.3.2.1}$

E por fim cortando 4 com 8, e 3.2 com 6, ficamos:

${8 \choose 4}=2.7.5$

${8 \choose 4}=70$

5 Membros:

Combinação de 5 pessoas dentre 8:

${8 \choose 5}=\frac{8!}{5!(8-5)!}$

Expandindo o 8! em cima até o valor de 5!:

${8 \choose 5}=\frac{8.7.6.5!}{5!3!}$

Cortando o 5! de cima com o de baixo e abrindo o 3! restante em fatores para simplificarmos:

${8 \choose 5}=\frac{8.7.6}{3!}$

${8 \choose 5}=\frac{8.7.6}{3.2.1}$

E por fim cortando 3.2 com 6, ficamos:

${8 \choose 5}=8.7$

${8 \choose 5}=56$

6 Membros:

Combinação de 6 pessoas dentre 8:

${8 \choose 6}=\frac{8!}{6!(8-6)!}$

Expandindo o 8! em cima até o valor de 6!:

${8 \choose 6}=\frac{8.7.6!}{6!2!}$

Cortando o 6! de cima com o de baixo e abrindo o 2! restante em fatores para simplificarmos:

${8 \choose 6}=\frac{8.7}{2!}$

${8 \choose 6}=\frac{8.7}{2}$

E por fim cortando 2 com 7, ficamos:

${8 \choose 5}=4.7$

${8 \choose 5}=28$

Resultado Final:

Agora que sabemos a combinação de cada caso, vamos parar e pensar: Quando Ana for escolher como o time será escolhido, ela deve escolher somente uma quantidade de membros para o time, ou seja, OU 4 membros OU 5 membros OU 6 membros.

O termo "OU" neste caso serve para deixar claro que estas possibilidades não tem intersecção entre si, ou seja, elas só se somam no total sem multiplicar, então o total de possibilidade é somente a soma destas:

70 + 56 + 28 = 154

E assim vemos então que o total de formas que ela pode fazer esta escolha é de 154 formas.

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