Question

mostre que a derivada de y = tg(x) é y’ = sec2 (x). Dica: use a relação tg(x)=senx sobre cosx . O enunciado abaixo refere-se às questões 4 e 5: Um problema que envolve taxas de variação de variáveis relacionadas é denominado de problema de taxas relacionadas, assim a taxa de variação de x em relação ao tempo é expressa por dx/dt. Uma função é usada para expressar o deslocamento de uma partícula em movimento retilíneo através da função: x(t) = 7,8 + 9,2t – 2,1t³."

Answer 1

mostre que se y=tg(x) , y'=sec²(x)

lembrando que
sec²(x) = tg²(x) +1
cos²(x)+sen²(x) = 1
1/cos(x) = sec

temos
$y=tg(x)= \frac{sen(x)}{cos(x)}$

derivando usando a regra do quociente
$\boxed{\boxed{\left( \frac{U}{V}\right )' = \frac{U'*V+U*V'}{V^2} }}$

temos 
U = sen(x)
U' = cos(x)
V = cos(x)
V' = - sen(x)


colocando na regra do quociente
$y' = \frac{cos(x)*cos(x)-sen(x)*(-sen(x))}{[cos(x)]^2} \\\\y'= \frac{cos^2(x)+sen^2(x)}{cos^2(x)} \\\\y'= \frac{1}{cos^2(x)} \\\\y'= \left( \frac{1}{cos(x)} \right)^2= (sec(x))^2 = sec^2(x)$

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a segunda questão
$x(t)= 7,8+9,2t-2,1t^3$

derivando
$\frac{dx}{dt} =0 + 9,2*1 -2,1*3t^{3-1}\\\\ \frac{dx}{dt}=9,2- 6,3t^2$