Question

Dados os vetores ~u = (1, −1, 1) e ~v = (2, −3, 4). Calcular:
(a) a ́area do paralelogramo determinado por ~u e ~v;
(b) a altura do paralelogramo relativo `a base definida pelo vetor ~u.

Answer 1

Essa questão aborda um tema importante de Álgebra Linear, que é: Produto Vetorial. Iremos utilizar esse conceito para responder os dois itens, para isso irei demonstrar primeiramente o por que da norma do produto vetorial ser a área do paralelogramo, primeiro vamos definir o produto vetorial:

                                    $\Large\begin{aligned}\| u \wedge v \| &= \| u\| \|v\| \sin \theta\\\\u \wedge v & = \det \left[\begin{array}{c c c}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\u_1 & u_2 & u_3 \\v_1 & v_2 & v_3 \\\end{array}\right]\end{aligned}$

Se quisermos podemos desenvolver a matriz por Laplace e temos:

 $\Large\begin{aligned}u \wedge v = \left(u_2v_3 - u_3v_2\right)\vec{i} - \left(u_1v_3 - u_3v_1\right)\vec{j} + \left(u_1v_2-u_2v_1\right)\vec{k}\end{aligned}$

Na primeira forma, obtemos a norma do vetor produto vetorial, na segunda obtemos o vetor em si, mas vamos pensar agora o por que a norma dele é a área do paralelogramo.

Vamos lembrar a definição da área de um paralelogramo:

                                                  $\Large\begin{aligned}A = b\cdot h\end{aligned}$

Ou seja, basta multiplicar a base pela altura, até temos a base, que pode ser qualquer um dos vetores, mas qual é a altura?

Se desenharmos a altura verá que teremos um triângulo retângulo, sendo a hipotenusa um dos vetores, agora pensemos no ângulo formado entre os dois vetores, sabemos por trigonometria básica que:

                                            $\Large\begin{aligned}\sin \theta = \dfrac{CO}{H}\end{aligned}$

Porém, note que o cateto oposto é a altura, e a hipotenusa é a norma do vetor, então temos:

                                            $\Large\begin{aligned}\sin \theta = \dfrac{h}{\|u\|}\end{aligned}$

Obs: utilizei o vetor u mas poderia ser o v que daria o mesmo resultado.

Isolando h na fórmula e colocando na fórmula da área temos:

                                            $\Large\begin{aligned}A = b\cdot\|u\|\sin \theta\end{aligned}$

Mas a base é a norma do outro vetor, então pode fim temos:

                                           $\Large\begin{aligned}A = \|u\|\|v\|\sin \theta\end{aligned}$

E por isso a área do paralelogramo é igual a norma do produto vetorial dos vetores que o formam.

Então vamos calcular qual é essa área!

Para fazer o produto vetorial irei utilizar o método que utiliza o determinante e então fazer a norma do vetor:

                                           $\Large\begin{aligned}u \wedge v & = \det \left[\begin{array}{c c c}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\1 & -1 & 1 \\2 & -3 & 4 \\\end{array}\right]\end{aligned}$

Fazendo a conta temos:

              $\Large\begin{aligned}u \wedge v &=\left|\begin{array}{c c}-1 & 1\\-3 & 4\\\end{array}\right|\vec{\imath} - \left|\begin{array}{c c}1 & 1\\2 & 4\\\end{array}\right|\vec{\jmath} + \left|\begin{array}{c c}1 & -1\\2 & -3\\\end{array}\right|\vec{k}\\\\&= -1\vec{\imath} - 2\vec{\jmath} -1\vec{k}\\\\&= (-1,\ -2,\ -1)\end{aligned}$

Esse é o nosso novo vetor, a norma, que coincide com a área é:

                      $\Large\begin{aligned}A &= \sqrt{\left(-1\right)^2 + \left(-2\right)^2 + \left(-1\right)^2}\\\\ &= \sqrt{1 + 4 + 1}\\\\&= \sqrt{6}\\\\\end{aligned}$

Portanto a área do palelogramo é

                                                 $\Large\begin{aligned}A = \sqrt{6}\end{aligned}$

Agora vamos para o próximo item, podemos fazer apenas uma lógica simples de trigonometria, como dito antes a base do paralelogramo é:

                                                 $\Large\begin{aligned}A = b\cdot h\end{aligned}$

Se queremos a altura referente podemos isolar ela na equação e temos:

                                                  $\Large\begin{aligned}h = \dfrac{A}{b}\end{aligned}$

Se queremos a altura relativa ao vetor u, significa que o vetor u também será a base, logo:

                                                 $\Large\begin{aligned}h = \dfrac{A}{\| u\|}\end{aligned}$

Então vamos calcular a norma de u e fazer as contas:

                                 $\Large\text{ \begin{aligned}h &= \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{\left(1\right)^2 +\left(-1\right)^2 + \left(1\right)^2}}\\\\&= \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 +1 + 1}}\\\\&= \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\\\\&= \sqrt{\dfrac{6}{3}}\\\\&= \sqrt{2}\\\\\end{aligned} }$

Portanto essa é a altura relativa a base u,

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.