Question

Um dado é lançado 2 vezes sucessivamente e é anotada a sequência de faces obtidas. Determine:?
a) n(S)
b) n(E1), sendo E1 o evento "o maior número obtido nesses lançamentos é 3".
c) n(E2), sendo E2 o evento "o produto dos números obtidos é ímpar".
d) n(E3), sendo E3 o evento ''a soma dos pontos obtidos é menor que 7''

Answer 1

O espaço amostral $S$ é o conjunto de todos os pares possíveis no lançamento de dois dados:

$S=\{(1;\,1),\;(1;\,2),\;(1;\,3),\;\ldots,\;(5;\,5),\;(5;\,6),\;(6;\,6)\}$


a) Como temos $6$ possibilidades para cada lançamento, o número de elementos de $S$ é

$n(S)=6\times 6\\ \\ n(S)=36$


b) Vejamos agora o seguinte evento:

$E_{1}=\{\text{o maior dos dois n\'{u}meros obtidos \'{e} }3\}$


Neste evento, obrigatoriamente, o resultado de pelo menos um dos lançamentos deve ser $3,$ e o resultado do outro lançamento não pode ser maior que $\mathbf{3}.$

Para um dos lançamentos, temos apenas uma possibilidade: $\{3\}$

Para o outro lançamento, temos três possibilidades: $\{1;\,2;\,3\}$
 

Então o evento $E_{1}$ é

$E_{1}=\{(1;\,3),\;(2;\,3),\;(3;\,3),\;(3;\,1),\;(3;\,2)\}$


$E_{1}$ contém cinco pares de resultados, portanto,

$n(E_{1})=5$


c) Agora, este outro evento:

$E_{2}=\{\text{o produto dos n\'{u}meros obtidos \'{e} \'{i}mpar}\}$


Para que o produto seja ímpar, os dois fatores devem ser ímpares. Então, os resultados dos dois lançamentos devem ser ímpares.


Para o primeiro lançamento, temos $3$ possibilidades: $\{1;\,3;\,5\}$


Para o segundo lançamento, também temos $3$ possibilidades: $\{1;\,3;\,5\}$


Então, o total de elementos do evento $E_{2}$ é

$n(E_{2})=3\times 3\\ \\ n(E_{2})=9$


d) E por último este evento:

$E_{3}=\{\text{soma dos pontos \'{e} menor que }7\}$


Em um lançamento de dois dados, a soma mínima é

$1+1=2$


e a soma máxima é

$6+6=12$


queremos todos os pares de forma que a soma seja menor que $7,$ ou seja, a soma deve ser no máximo igual a $\mathbf{6}.$ Logo, o evento $E_{3}$ é

$\begin{array}{cr} E_{3}=\{&(1;\,1),\,\ldots(1;\,5),\\ &(2;\,1),\,\ldots,\,(2;\,4),\\ &(3;\,1),\,(3;\,2),\,(3;\,3),\\ &(4;\,1),\,(4;\,2),\\ &(5;\,1)\} \end{array}$


e o número de elementos deste evento é

$n(E_{3})=5+4+3+2+1\\ \\ n(E_{3})=15$

Answer 2

Do lançamento de dois dados, temos:

a) n(S) = 36

b) n(E1) = 6

c) n(E2) = 9

d) n(E3) = 15

Probabilidade

A probabilidade de um evento ocorrer depende da quantidade de elementos do espaço amostral (S) e da quantidade de elementos no evento (E) e é dada por:

P = n(E)/n(S)

a) n(S) é o número de elementos do espaço amostral. Dois dados com seis faces cada tem um total de 6×6 = 36 possibilidades.

b) Os casos onde o maior número é 3 são:

(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)

Logo, n(E1) = 6.

c) Os casos onde o produto dos números é ímpar são:

(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)

Logo, n(E2) = 9.

d) Os casos onde a soma é menor que 7 são:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 3), (5, 1)

Logo, n(E3) = 15.

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