Question

por favor alguém poderia ajudar!
encontre a representação polar dos números complexos:

a) Z= -1-i

b) Z= 2+2i

c) Z= -1+i√3

Answer 1

Resposta:

a) $z = \sqrt{2} *(cos(\frac{5\pi }{4})+ i * sen (\frac{5\pi }{4} ))$

b) $z=2\sqrt{2} *(cos(\frac{\pi }{4}) +i*sen(\frac{\pi }{4} ))$

c) $z = 2 (cos(\frac{2\pi }{3}) + i * sen(\frac{2\pi }{3} ))$

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Encontre a representação polar dos números complexos:  

a) z = - 1 - i               b) z = 2 + 2i                 c) z = - 1 + i√3

Resolução:

a) z = - 1 - i  

A fórmula algébrica de um número complexo é:

z = a + b i

onde "a" é a parte real de z e "b" é o coeficiente da parte imaginária.

A forma polar de representar um número complexo é do tipo:

z = | z | * ( cos (  θ  ) + i * sen (  θ  ) )

Para escrever um número complexo na forma de representação polar necessita de saber 2 elementos

1 º módulo do número complexo

| z | é o módulo do número complexo = $\sqrt{a^{2} + b^{2} }$

2º O cosseno e o seno do ângulo formado pelo vetor OP com o eixo real , vetor que une a origem ao ponto P, que é onde está marcado o número complexo.

Em termos práticos .

$sen (teta) = \frac{b}{|z|}$                    $cos(teta)= \frac{a}{|z|}$

Esta letra chamada "teta" é uma letra grega que se representa por " θ "

Em  Z = - 1 - i  

$|z|=\sqrt{( - 1)^2+( - 1^)2} = \sqrt{2}$

$sen (teta) = \frac{b}{|z|}= \frac{-1}{\sqrt{2} }=-\frac{1}{\sqrt{2} } =-\frac{\sqrt{2} }{2}$  

$cos (teta) = \frac{a}{|z|}= \frac{-1}{\sqrt{2} }=-\frac{1}{\sqrt{2} } =-\frac{\sqrt{2} }{2}$  

Chegado aqui procura-se saber qual o ângulo nestas condições.

Há uma tabela com alguns valores de seno , cosseno e tangente de ângulos que o estudante tem de saber de memória.

Nessa tabela:

$sen(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2} }{2}$          e π/4  está no 1º quadrante.

O quadrante aonde   o seno e o cosseno têm o valor $-\frac{\sqrt{2} }{2}$ , igual para os dois ,é o 3º quadrante.

O ângulo ( π/4 + π = 5π/4 ) tem esse valor para o seno e cosseno.

Forma polar de z = - 1 - i  é :     $z = \sqrt{2} *(cos(\frac{5\pi }{4})+ i * sen (\frac{5\pi }{4} ))$

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b) Z = 2 + 2i  

1º - Cálculo do módulo de Z

$|z| = \sqrt{2^2+2^{2} } =\sqrt{8} = \sqrt{2^{2}*2 } =\sqrt{2^{2} } *\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

2º Cálculo do seno e cosseno de θ

Cálculo de seno de θ

$sen (teta) = \frac{b}{|z|}= \frac{2}{2*\sqrt{2} }$

o 2 do numerador e o 2 do denominador cancelam-se

$sen (teta) = \frac{b}{|z|}= \frac{2}{2*\sqrt{2} }$

$sen (teta) = \frac{b}{|z|}= \frac{2}{2*\sqrt{2} }= \frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

Observação → quando nos aparece uma fração com um denominador com raiz, temos que racionalizá-lo.

Neste caso multiplicamos o numerador e o denominador por √2.

Repare que √2 * √2 = (√2)² = 2

cálculo do cosseno de θ

$cos (teta) = \frac{a}{|z|}= \frac{2}{2*\sqrt{2} }= \frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

Pergunta :  qual o ângulo cujo seno e cosseno são √2 /2 ?

É o ângulo π/4 ( ou 45º )

Forma polar de z = 2 + 2i  é :     $z=2\sqrt{2} *(cos(\frac{\pi }{4}) +i*sen(\frac{\pi }{4} ))$

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c) z = - 1 + i√3        a = - 1  e  b = √3

Cálculo de |z|

$|z| = \sqrt{(-1)^{2} +(\sqrt{3})^2 } = \sqrt{1+3}=\sqrt{4} =2$

Cálculo de seno de θ

$sen (teta) = \frac{b}{|z|}$      $= \frac{\sqrt{3} }{2}$

Cálculo de cosseno de θ

$cos(teta)= \frac{a}{|z|}$  $= - \frac{1}{2}$

Qual é o ângulo que tem seno de √3/2 e cosseno de 1/2 ?

Está no 2º Quadrante e é π - π/3 = 3π/3 - π/3 = 2π/3

Forma polar de z =  - 1 + i√3 é    $2 (cos(\frac{2\pi }{3}) + i * sen(\frac{2\pi }{3} ))$

Bom estudo.

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Sinais.  ( x ) multiplicação    ( / ) divisão