Question

2- Esboce o gráfico da função F(X) = X^3 − 2X + 1 e verifique:
a) se a função possui pontos críticos, se sim. Identifique-os?
b) Quais são os pontos máximos e mínimos da função?

Answer 1

Para verificar se a função tem pontos de máximo ou mínimo, devemos analizar a primeira derivada:

f '(x) = 3x² - 2

Os pontos de máximo ou de mínimo local se darão onde a inclinação da reta tangente, nesses pontos, é nula, ou seja, onde a derivada é igual a zero:

3x² - 2 = 0
3x² = 2
x² = 2/3
x = +-√(2/3)

Sabemos, agora que +√(2/3) e -√(2/3) são pontos críticos (candidatos a ponto de máximo ou de mínimo).

Para determinar quem é ponto de máximo ou mínimo, temos que analisar o sinal dessa derivada, entre os intervalos: antes de -√(2/3), entre -√(2/3) e +√(2/3) e após +√(2/3). 

Mas, observamos que o gráfico da derivada primeira é uma parábola com concavidade para cima (pois a >0). Logo teremos:

---(++++)---(-√(2/3))------(- - - - )----+√(2/3)----(+++)----

Como em -√(2/3) o sinal cresce e depois decresce, -√(2/3) é ponto de máximo local.

Como em √(2/3) o sinal decresce e depois cresce, √(2/3) é ponto de mínimo local.

Para esboçar o gráfico, vamos usar esses pontos de máximo e de mínimo e as raízes da função principal. Antes, vamos calcular as coordenadas dos pontos de máximo e de mínimo. 

primeiro, adotaremos:  √(2/3)  = 0,82

Ponto de máximo: (-0,82; 2,1) 
Ponto de mínimo: (0,82 ; -0,1)

Agora precisamos encontrar as raízes de f(x), para isso notemos que x = 1 é uma das raízes, pois f(1) = 0
1³ - 2 . 1 + 1 = 1 - 2 + 1 = -1+1 = 0

Para encontrar as outras raízes, vamos utilizar a divisão de f(x) por (x-1) ou usando o Dispositivo de Briot Rufini. 

Chegaremos em uma equação de segundo grau:  x²+x-1

x²+x-1 = 0
Δ = 1 - 4 . 1 . (-1) = 5

x = (-1+-√5)/2

x1 = (-1+√5)/2 = 0,62
x2 = (-1-√5)/2 = -1,62

Notemos também que a função intercepta y em x = 0, logo o ponto que intercepta y é (0,1).

Com esses pontos: raízes, intercepto, máximo e mínimo, podemos esboçar o gráfico