Question

Encontre os pontos críticos e esboce o gráfico de y = x^4 - 4^2?

Answer 1

Os pontos críticos de uma função são os pontos onde a derivada é nula (reta tangente horizontal) ou onde a derivada não existe

$\boxed{\boxed{f'(c)=0~~ou~~f'(c)~n\~ao~existe~~\rightarrow~~(c,f(c))~\'e~ponto~cr\'itico}}$
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$y=x^{4}-4x^{2}=x^{2}\cdot(x^{2}-4)=x^{2}\cdot(x^{2}-2^{2})=x^{2}\cdot(x+2)\cdot(x-2)$

Estudo de sinais de y:

x² é maior ou igual a zero para todo x pertencente aos reais
(x + 2) é maior que zero se x > - 2, e menor que zero se x < - 2
(x - 2) é maior que zero se x > 2, e menor que zero se x < 2

Fazendo a interseção de sinais, temos que

$y\ge0~~se~~x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\\y~\textless~0~~se~x\in(-2,~2)$

Achando a derivada de y:

$y'=4x^{3}-4\cdot2x^{2-1}\\\\\boxed{\boxed{y'=4x^{3}-8x=4x\cdot(x^{2}-2)}}$

Achando as raízes de y':

$y'=0~\leftrightarrow~4x\cdot(x^{2}-2)=0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x_{1}=-\sqrt{2},~x_{2}=0,~x_{3}=\sqrt{2}}}$

Esses são as abscissas dos pontos críticos da função

Encontrando os pontos críticos:

$x=0~~~~~~~~\rightarrow~~y=0^{4}-4\cdot0^{2}=0\\\\x=\sqrt{2}~~~~~~\rightarrow~~y=(\sqrt{2})^{4}+4(\sqrt{2})^{2}=4-4\cdot2=4-8=-4\\\\x=-\sqrt{2}~~~~\rightarrow~~y=(-\sqrt{2})^{4}-4(-\sqrt{2})^{2}=-4\\\\\\\boxed{\boxed{(0,0),~(\sqrt{2},-4),~(-\sqrt{2},-4)}}$

Estudo de sinais de y':

4x é maior que zero se x > 0 e menor que zero se x < 0
x² - 2 é maior que zero se x não está entre as raízes (da parábola) e menor que zero entre as raízes (da parábola). Portanto, x² - 2 é maior que zero se x < -√2 ou x > √2, e menor que zero se - √2 < x < √2

Fazendo o produto de sinais, temos

$y'~\textgreater~0~~se~x\in(-\sqrt{2},0)\cup(\sqrt{2},+\infty)\\y'~\textless~0~~se~x\in(-\infty,-\sqrt{2})\cup(0,\sqrt{2})$

Achando a derivada segunda de y:

$y'=4x^{3}-8x\\y''=4\cdot3x^{2}-8\\y''=12x^{2}-8$

Achando as raízes de y'':

$12x^{2}-8=0\\\\3x^{2}-2=0\\\\x^{2}=\frac{2}{3}\\\\\boxed{\boxed{x=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}}}$

(Abscissas dos pontos de inflexão de y)

Estudo de sinais de y'':

O gráfico de y'' é uma parábola concava para cima. Como a parábola possui duas raízes distintas, é negativa entre as raízes e não-negativa no resto. Portanto:

$y''~\textgreater~0~~se~x\in(-\infty,-\frac{\sqrt{6}}{3})\cup(\frac{\sqrt{6}}{3},+\infty)\\y''~\textless~0~~se~x\in(-\frac{\sqrt{6}}{3},~\frac{\sqrt{6}}{3})$
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Com isso tudo, podemos esboçar o gráfico de y

Resumindo:

y é positiva, decrescente e concava para cima se x < - 2
y é negativa, decrescente e concava para cima se - 2 < x < - √2
y é negativa, crescente e concava para cima se - √2 < x < - √6 / 3
y é negativa, crescente e concava para baixo se - √6 / 3 < x < 0
y é negativa, decrescente e concava para baixo se 0 < x < √6 / 3
y é negativa, decrescente e concava para cima se √6 / 3 < x < √2
y é negativa, crescente e concava para cima se √2 < x < 2
y é positiva, crescente e concava para cima se x > 2

O gráfico de y está em anexo